第31讲 双曲线与方程.docx

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1、第31讲双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】，此时点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.2、双曲线的简单性质标准方程顶点坐标焦点坐标左焦点，右焦点上焦点，下焦点虚轴与虚轴实轴长、虚轴长实轴长、虚轴长有界性，对称性关于轴对称

2、，关于轴对称，同时也关于原点对称.3、渐近线双曲线的渐近线为，即，或.【注】①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；②渐近线为的双曲线方程可以设为；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、通径过双曲线焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于、两点，称线段为双曲线的通径，且.5、焦点三角形为双曲线上的任意一点，，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦点三角形.若，则焦点三角形的面积为：.6、双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）.7、

3、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为8、直线与双曲线的位置关系直线，双曲线：，则与相交；与相切；与相离.9、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.10、焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且，则，即动点的点的轨迹为.11、双曲线上任意两点的坐标性质为双曲线上的任意两点，且，则.【推广1】直线过双曲线的中心，与双曲线交于两点，为双曲线上的任意一点，则（均存在）.【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若为的中点，

4、则.12、中点弦的斜率直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率.13、点是双曲线上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于两点，则定值.14、点是双曲线上的动点，过作渐近线的平行线，交渐近线于两点，则定值.【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________.【变式2】双曲线的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆和双曲线有相同焦点、，为两曲线的一个交点，则_______

5、__.【变式5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．B.C.D.【变式6】直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若(为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【变式7】设连接双曲线与的四个顶点为四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积为，则的最大值为_________.例2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则=_________.【变式1】过双曲线的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_________.例

6、3、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面积.例4、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点,试求的值.例5、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线:；（1）画出曲线的图像；（2）若直线：与曲线有两个公共点，求的取值范围；（3）若，为曲线上的点，求的最小值.【变式2】直线：与曲线：.（1）若直线与曲线有且仅有一个交点，求实

7、数的取值范围；（2）若直线被曲线截得的弦长，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得以为直径的圆经过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.例7、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值.【变式】是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.例8、已知动圆与两个定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.【变式1】的顶点为,，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，线段的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线，若点

8、为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例