第4讲 对偶理论与灵敏度分析.doc

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1、第4讲对偶理论内涵一致但从相反角度提出的一对问题互为对偶（Dual）问题。每一个线性规划问题都有和它相伴随的另一个问题，一个问题称为原问题，则另一个则称为其对偶问题。原问题与对偶问题有着非常密切的关系，以至于可以根据一个问题的最优解，得出另一个问题最优解的全部信息。3.1对偶问题的提出对偶理论是以对偶问题为基础的，研究对偶理论，首先必须讨论对偶问题的提出。对偶问题可以从经济学和数学两个角度来提出，本章仅限于从经济学角度提出对偶问题。[例3-1]资源的合理利用问题已知资料如表所示，问应如何安排生产计划使得既能充分利用现有资源使得总利

2、润最大？下面从另一个角度来讨论这个问题：假定：该厂的决策者不是考虑自己生产甲、乙两种产品，而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务，只收取加工费。试问该决策者应制定怎样的收费标准（合理的）？分析问题：1、每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利润；2、定价又不能太高，要使对方能够接受。一般而言，W越大越好，但因需双方满意，故为最好。该问题的数学模型为：生产模型（原问题）与出租模型（对偶问题）对比：将站在生产的立场上建立起来的数学模型同站在出租厂立场上所建立的数学模型加以对比，可以发现它们的参数是一一对应的。也就是说，建立后一个

3、模型并不需要在前一个模型的基础上增加任何补充信息。进一步讲，后一个线性规划问题是前一个线性规划问题从相反角度所作的阐述；如果前者称为线性规划的原问题，那么后者就称为其对偶问题。以上从经济角度提出对偶问题，是通过一个生产两种产品、消耗三种资源的特定示例进行的，我们可以很自然地将其推广到生产种产品、消耗种资源的一般形式：原问题对偶问题············从对偶问题的提出可知，对偶决策变量代表对第种资源的估价；这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中的贡献而给出的一种价值判断。为了将该价格与市场价格相区别，称其为影子价格（s

4、hadowprice）。影子价格的特征影子价格是对系统资源的最优估计，只有系统达到最优状态时才可能赋与资源这种价值。因此，也称为最优价格。影子价格的取值与系统的价值取向有关，并受系统状态变化的影响。系统内部资源数量和价格的变化，它是一种动态的价格体系。对偶解释——影子价格的大小客观反映了资源在系统内的稀缺程度。如果某资源在系统内供大于求，尽管它有市场价格，但它的影子价格等于零。增加这种资源的供应不会引起系统目标的任何变化。如果某资源是稀缺资源，其影子价格必然大于零。影子价格越高，这种资源在系统中越稀缺。一般来讲，如果模型显性地处理

5、所有资源的成本计算（生产型）则对偶解与影子价格相等，我们按以下原则考虑企业的经营策略：如果某资源的影子价格高于市场价格，表明该资源在系统内有获利能力，应买入该资源。如果某资源的影子价格低于市场价格，表明该资源在系统内无获利能力，应卖出该资源。如果某资源的影子价格等于市场价格，表明该资源在系统内处于平衡状态，既不用买入，也不必卖出该资源。3.2对偶关系及对偶性质3.2.1对偶问题的对应关系如果我们将目标函数求极大值、约束条件取小于等于号、决策变量非负的线性规划问题称为对称形式的原问题，上节对偶问题的提出已经揭示了对称形式的原问题与其

6、对偶问题的对应关系；这些对应关系可概括为：1．原问题目标函数求极大值，对偶问题目标函数求极小值；2．原问题约束条件的数目等于对偶问题决策变量的数目；3．原问题决策变量的数目等于对偶问题约束条件的数目；4．原问题的价值系数成为对偶问题的资源系数；5．原问题的资源系数成为对偶问题的价值系数；6．原问题的技术系数矩阵与对偶问题的技术系数矩阵互为转置；7．原问题约束条件为小于等于号，对偶问题约束条件为大于等于号；8．原问题决策变量大于等于零，对偶问题决策变量大于等于零。那么在非对称形式下，原问题与其对偶问题更一般的对应关系是怎样的呢？下面

7、通过两个例子对此问题加以反映。[例3-2]给出此线性规划问题的对偶问题2323解：首先将其转化成对称形式（1）将第二个不等式两边同乘“-1”，可得：（2）将第三个等式表示成等价的两个不等式，可得：（3）将两边同乘“-1”，可得：于是此问题的对称形式为：利用上述对称形式的原问题与其对偶问题的对应关系，可写出其对偶问题：222333令，，有：，，无约束此例反映出原问题约束条件不等号的方向，决定对偶决策变量取值的正负。原问题约束条件取等号，那么与之对应的对偶变量取值无约束；原问题（max）约束条件取小于等于号，那么与之对应的对偶变量取值

8、非负；原问题（max）约束条件取大于等于号，那么与之对应的对偶变量取值非正。[例3-3]给出此线性规划问题的对偶问题无约束解：首先将其转化成对称形式，令，，有：利用对称形式的对偶关系，可写出其对偶问题：，，将第二个不等式两边同乘“-1”：将第三和第