奥数：小学奥数系列：第11讲.全等三角形中的倍长类中线.学生版

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1、第十一讲全等三角形中的倍长类中线三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的

2、应用更是较为常见．重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理以及中线的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲版块一、倍长中线【例1】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．【例2】如图

3、，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．【例3】已知△ABC，∠B=∠C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE．【例4】已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．【例1】在中，，点为的中点，点、分别为、上的点，且．以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【巩固】如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证．【例2】(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形中，，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点．求证

4、：．【例3】(浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在中，是边的中点，，分别是及其延长线上的点，．求证：．【例10】(年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．【例11】如图所示，在和中，、分别是、上的中线，且，，，求证．【例12】如图所示，，是的中点，，，求证．【巩固】已知在中，是中线，是上的任意一点，且交的延长线于点，交于，求证．版块二、中位线的应用【例10】是的中线，是的中点，的延长线交于．求证：．【例11】如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求

5、证．　　　　【巩固】已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求证CD=2CE　　　　【例12】已知：ABCD是凸四边形，且AC∠GNM．【例10】在中，，，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且．【例11】如图，在五边形中，，，为的中点．求证：．【例12】(“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，是内的一点，，过作于，于，为的中点，求证．【例10】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在中，

6、为的中点，分别延长、到点、，使．过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、．求证：(1)；(2)．【例11】已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PN(1991年泉州市初二数学双基赛题)【例12】已知，如图四边形中，，、分别是和的中点，、、的延长线分别交于、两点．求证：．【巩固】(2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．⑴如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结

7、、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论(不需证明)．⑵当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【例10】如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，BC=CD，F为DE的中点，FM⊥AC．证明：FM=AC．【巩固】(2004全国数学联赛试题)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF．设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M．求证：点M为EF的中点．家庭作业【习题1】如图，在等腰中，，是的中点，过作，，且．求证：．【习题2】如图，已知在中，是边上的

8、中线，是上一点，且，延长交于，与相等吗？为什么？【习