抛物线的定义在解题中的应用.doc

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1、抛物线的定义在解题中的应用抛物线的定义在解题中的应用抛物线的定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本将抛物线的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考一、利用抛物线定义求轨迹方程例1求与圆：外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程分析：由题知动圆圆心到到圆的圆心（-2，0）的距离与到直线距离相等，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹是以（-2，0）为焦点、以直线为准线的抛物线，焦点到准线的距离为4解析：设动圆半径为，点到直线的距离为，由动圆与圆外切知，

2、

3、=，由动圆与直线相切知，=

4、，∴点到直线=2的距离为，∴动圆圆心到点（-2，0）的距离与到直线=2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹是以（-2，0）为焦点、以直线为准线的抛物线，焦点到准线的距离为4∴动圆圆心的轨迹方程为点评：本题考查了直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、抛物线的定义与标准方程，定义法是求轨迹问题的重要方法之一二、利用抛物线定义求最值例2已知F是抛物线的焦点，点Q(2,2),在抛物线上找一点P使

5、PQ

6、+

7、PF

8、最小，求点P的坐标分析：涉及到抛物线上一点到焦点的距离问题，可用抛物线的定义去处理解析：抛

9、物线的准线方程为，P是抛物线上一点，过P作PH⊥，垂足为H，根据抛物线定义知，

10、PH

11、=

12、PF

13、，∴

14、PQ

15、+

16、PF

17、=

18、PQ

19、+

20、PH

21、，当H、P、Q共线时,此时P(1,2),

22、PQ

23、+

24、PH

25、值最小，最小值为3点评：抛物线的定义是圆锥曲线的重要概念，是将抛物线上一点到焦点的距离（即焦半径）转化为它到准线距离的重要工具，利用它，可以在本题中构造出“点到直线的垂线段最短”，应熟练掌握这种转化思路例3定长为4的线段AB的端点A、B在抛物线上移动，求线段AB的中点到轴的距离的最小值，并求出此时AB的中点坐标

26、解析：设F是抛物线的焦点，过A、B、分别作准线的垂线A、BD、N，垂足分别为、D、N，则

27、N

28、=(

29、A

30、+

31、BD

32、),由抛物线的定义知，

33、A

34、=

35、AF

36、，

37、BD

38、=

39、BF

40、,∴

41、N

42、=(

43、AF

44、+

45、BF

46、)=2,设的横坐标为，则

47、N

48、=，则2，∴，当AB过F点时等号成立，此时点到轴的距离最短为点评：解本题的关键在于利用抛物线的定义将焦半径转化为到准线的距离三、解与焦半径有关的问题例4已知抛物线上一点到焦点F的距离为2，求点的坐标分析:本题是抛物线上一点到焦点的距离问题可利用抛物线的定义转化为到准线的距离

49、问题处理解析：设,由得，，∴准线方程为，∴点到准线的距离为，由抛物线的定义知=2，解得，代入解得，∴点的坐标为点评：本题也可以设出点坐标，求出焦点坐标，利用两点距离公式构造方程组求解，但过程复杂，抛物线定义是解决抛物线上一点到焦点距离的有效工具例已知抛物线，过抛物线的焦点斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，求线段

50、AB

51、的长分析：过焦点的弦长问题可以利用抛物线的定义结合根与系数关系解决,也可利用弦长公式处理解析：设点A、B的横坐标分别为，，抛物线的焦点为F（1，0），准线为，∴点A、B到准线的距离分别为

52、，，根据抛物线的定义知，

53、AF

54、=，

55、BF

56、=，∴

57、AB

58、=

59、AF

60、+

61、BF

62、=+=直线AB的方程为：，代入化简整理得，，∴=3，∴

63、AB

64、=3+2=点评：圆锥曲线的弦长问题通常将曲线方程与直线方程联立转化为关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系与弦长公式=或=（其中是直线AB的斜率，，）抛物线过焦点弦AB长公式为=（其中，分别为点A、B的横坐标）