数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点).doc

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1、数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点)第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。1点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。例1如图，设线段AB的中点为，以A和B为对角线作平行四边形AED，BFG。又作平行四边形FHD，GE。求证：H，，三点共线。证连A，DG，HB。由题意，ADEG，知四边形AGD是平行四边形，于是ADG。同样可证AHB。四边形A

2、HB是平行四边形，其对角线AB，H互相平分。而是AB中点，线段H过点，故，，H三点共线。例2如图所示，菱形ABD中，∠A=120°，为△AB外接圆，为其上一点，连接交AB于E，A交B延长线于F。求证：D，E，F三点共线。证如图，连A，DF，DE。因为在上，则∠A=60°=∠AB=∠AB，有△A∽△AF，得。又因为∠A=BA，所以△A∽△EA，得。所以，又∠BAD=∠BD=120°，知△FD∽△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为AD∥B，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，于是F，E，D三点共线。例3四边形ABD内接于圆，其

3、边AB与D的延长线交于点P，AD与B的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。证如图。连接PQ，并在PQ上取一点，使得B，，，P四点共圆，连，PF。设PF与圆的另一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。易如QE2=Q•QP=Q•QB①∠P=∠AB=∠PDQ。从而，D，Q，四点共圆，于是P•PQ=P•PD②由①，②得P•PQ+Q•PQ=P•PD+Q•QB，即PQ2=Q•

4、;QB+P•PD。易知PD•P=PE’•PF，又QF2=Q•QB，有PE’•PF+QF2=PD•P+Q•AB=PQ2，即PE’•PF=PQ2-QF2。又PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)•(PG－GF)=PF•(PG－GF)，从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。所以P，E，F三点共线。例4以圆外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PD交圆于，D

5、。又由B作D的平行线交圆于E。若F为D中点，求证：A，F，E三点共线。证如图，连AF，EF，A，B，P，BF，F，延长F交BE于G。易如A丄AP，B丄BP，F丄P，所以P，A，F，，B五点共圆，有∠AFP=∠AP=∠PB=∠PFB。又因D∥BE，所以有∠PFB=∠FBE，∠EFD=∠FEB，而FG为BE的垂直平分线，故EF=FB，∠FEB=∠EBF，所以∠AFP=∠EFD，A，F，E三点共线。2线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给

6、予证明。例以△AB的两边AB，A向外作正方形ABDE，AFG。△AB的高为AH。求证：AH，BF，D交于一点。证如图。延长HA到，使A=B。连，B。设与BF交于点。在△A和△BF中，A=F，A=B，∠A+∠HA=180°，∠HA+∠HA=90°，并且∠BF=90°+∠HA，因此∠BF+∠HA=180°∠A=∠BF。从而△A≌△BF，∠A=∠FB。所以∠F=∠F+∠F=∠F+∠F=90°，即BF丄。同理D丄B。AH，BF，D为△B的3条高线，故AH，BF，D三线交于一点。例6设P为△AB内一点，∠APB－∠AB=∠AP－∠A

7、B。又设D，E分别是△APB及△AP的内心。证明：AP，BD，E交于一点。证如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R，S，T。连RS，ST，RT，设BD交AP于，E交AP于N。易知P，R，A，S；P，T，B，R；P，S，，T分别四点共圆，则∠APB－∠AB=∠PA+∠PB=∠PRS+∠PRT=∠SRT。同理，∠AP－∠AB=∠RST，由条知∠SRT=∠RST，所以RT=ST。又RT=PBsinB，ST=Psin，所以PBsinB=Psin，那么。由角平分线定理知。故，N重合，即AP，BD，E交于一点。例71与2外切于P点，QR

8、为两圆的公切线，其中Q，R分别为1，2上的切点，过Q且垂直于Q2的直线与过R且垂直于R1的直线交于点I，IN垂直于12，垂足为N，IN与QR交于点。证明：P，R1，Q2三条直线交于一点。证如图，设R1与Q2交于点，连，P。因为∠1Q=∠1N=90°，所以Q，1，N，四点共圆，有∠QI=∠Q12。而∠IQ