中考数学压轴题专项汇编专题11轴对称

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1、专题11轴对称破题策略成轴对称的两个图形全等；如果两个图形关于某条直线对称，那么对成轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．通常所说的翻折实质上就是轴对称变换．图形沿着某条直线翻折，这条直线即为对称轴，利用轴对称的性质，再借助方程的知识就能很快解决问题．例题讲解例1在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为点E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F．（1）如图1，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；（2）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示AE、FE、FD之间的数量关系，并证明；解（1）如图3，连接A

2、E，则∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB．四边形ABCD为正方形∠BAD＝90°，AB＝AD∠EDA＝130°∠ADF＝25°（2）如图4，连接AE，BF，BD，由轴对称知EF＝BF，AE＝AB＝AD∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∠BFD＝∠BAD＝90°BF2＋FD2＝BD2EF2＋FD2＝2AB2例2菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC＝60°，①如图1，当重合点

3、在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_________；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_________（填“改变”或“不变”）．请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．（1）如图3，若∠ABC＝120°，则六边形AEFCHG的周长为_________；（2）如图4，若∠ABC的大小为，则六边形AEFCHG的周长可表示为________．答案：（1）①6；②不变；（2）；4＋4sin．（1）如图1，因为EF＝AB＝FC＝CH＝AG＝

4、GH＝1，所以周长为6．如图2，因为△EBF、△GHD为等边三角形，所以EF＝BE，GH＝GD因为四边形FCDG、AEHD为平行四边形，所以FC＝GD＝DH＝AE，同理可得CH＝BE＝AG所以周长不变（2）当∠ABC＝120°时，EP＝，GH＝．因为AE＝DH＝DG＝FC，AG＝BF＝BE＝CH所以六边形AEFCHG的周长为AB＋AD＋＋＝4＋2．当∠ABC＝2时，EF＝2BEsin，，GH＝2DGEsin所以六边形AEFCHG的周长为4＋4sin例3有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，

5、得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；（2）在图2中，若AB＝a，BC＝b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？（3）设矩形ABCD的边AB＝2，BC＝4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y＝kx，当∠M′BC＝60°时，求k的值，此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、

6、F分别为AB、CD中点），为什么？解：（1）△BMP是等边三角形连接AN∵EF垂直平分AB，∴AN＝BN由折叠知AB＝BN，∴AN＝AB＝BN，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN＝60°∴∠PBN＝30°又∵∠ABM＝∠NBM＝30°，∠BNM＝∠A＝90°，∴∠BPN＝60°，∠MBP＝∠MBN＋∠PBN＝60°∴∠BMP＝60°，∴∠MBP＝∠BMP＝∠BPM＝60°∴△BMP为等边三角形．（1）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP在Rt△BNP中，BN＝BA＝a，∠PBN＝30°∴∴∴所以当时，在矩形上能剪出这

7、样的等边△BMP．（2）（3））∵∠M′BC＝60°，∴∠ABM′＝90°－60°＝30°在Rt△ABM′中，∴∴∴M’（，2），代入y＝kx中，得设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A′，过A′作A′H⊥BC交BC于H∵△A′BM′≌△ABM′，∴∠A'BM'＝∠ABM'＝30°，A′B＝AB＝2∴∠A'BH＝∠M'BH－∠A'BM'＝30°在Rt△A′BH中，A′H＝AB＝1，BH＝∴∴A′落在EF上．进阶训练1．已知：在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，E是对角线AC上一点，连结DE，∠DEC＝50°，将

8、线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的廷长线于点G．求证：EG＝BC．2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC上的A'处，折痕所在直线同时经过边AB，AD（包括端点）