高三数学一轮复习第15讲平面向量的数量积及应用教案

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1、平面向量的数量积及应用教学目标1．平面向量的数量积①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2．向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5

2、~9分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。预测2017年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；教学准备多媒体课件教学过程一．知识梳理：1．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的

3、，范围0°≤q≤180°。C（2）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定；向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积。（4）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：。②乘法公式成立；；③平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。④向量的夹角：cos==。当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向

4、量，则·=。（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设，则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。2．向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。二．典例分析　(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)A．6　　　　　　　　　　B．5C．4D．3(2)(2012·湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.　(1)

5、8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30.即18＋3x＝30，解得x＝4.(2)法一：∵＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝2＋＋，又由AP⊥BD得⊥且⊥，∴·＝0，且·＝0于是·＝·(2＋＋)＝22＝2

6、

7、2＝18.法二：·＝·(＋)＝·(＋＋)＝2·＋·＝2

8、

9、·

10、

11、·cos，＝2×

12、

13、·

14、

15、·＝2×

16、

17、2＝2×32＝18.　(1)C　(2)18　由题悟法平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝

18、a

19、

20、b

21、·cosθ求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．以题试法1．(1)(

22、2012·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝(　　)A.B.C.D．2解析：选B　由题意可知＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，且·＝0，故·＝－(1－λ)2－λ2＝－2.又

23、

24、＝1，

25、

26、＝2，代入上式解得λ＝.(2)(2011·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.又因为e1，e2为单位向量，夹角为

27、，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.答案：－6两平面向量的夹角与垂直典题导入　(1)(2012·福州质检)已知

28、a

29、＝1，

30、b

31、＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为(　　)A．150°　　　　　　　　B．90°C．60°D．30°(2)(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.　(1)∵a·b＝1×