2014年上海中学生数学知识应用竞赛初赛

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1、2014年上海市中学生数学知识应用竞赛初赛学校年级姓名.题号12345678总分得分初赛试题共有八题，本试卷复印无效。（请于5月26日前寄送回上海市科技艺术教育中心（中山西路1245弄1号2号楼302室，上海市中学生数学知识应用竞赛组委会收）邮编200051）1、某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6时起到晚上10时止，供应生活用水和生产用水。已知该厂生活用水每小时消耗10吨，生产用水消耗量与时间(单位：小时，定义早上6时)的关系为，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，进水量每小时增加10吨。若某天水塔有存水100吨，在供水的同时

2、打开进水管，问：进水量选择在第几级，即能保证该厂用水又不会溢出？共8页，第8页2、某公司使用水下探测器寻找坠落于海底处且会不断发出电子信号的一个物件。工程师建立的坐标系如下：取原点为工作母船位置，轴为海平面，轴为垂直向上方向，单位长度为100米。探测器在水下沿一条直线移动完成了一次探测任务，工程师分析数据后发现：探测器在点处收到的坠落物的电子信号最强；又在点处探测器到坠落物的距离恰为探测器到母船距离的两倍。求该坠落物的位置坐标。共8页，第8页3、如下图所示，大吊钩的截面图是由三条线段和五段圆弧组成的，已知圆弧与圆弧、圆弧与线段的连接处都是相切的，背景的小方格是边长

3、为1的正方形。根据图中的信息写出五段圆弧的圆心坐标。yxO共8页，第8页4、设某人计划购车，假设买车费用为10万，每年固定费用(保险、养路、停车等)为9000元，其它费用（汽油、维修等)第一年为1000元，第二年起每年递增500元。设贴现率为5%，计算:(1)第年支出费用的现值；(2)到年为止支出费用的总现值；(3)按年计算平均费用是递增的吗？共8页，第8页5、有一堆火柴共20根。两人轮流抓取，每次只能取2根或3根（倒数第二次只允许留下2根或3根），取到最后一根者为负。问：一共有多少种不同取法？其中先取的人能胜的是哪几种取法？共8页，第8页6、一家商店经销某种商品

4、。一周的进货量和顾客对该商品的需求量都为在11至20之间等可能取值的正整数，即，，，且，相互独立。商店每售出一件该商品可获得利润1000元。求商店经销该商品每周获得的平均利润。共8页，第8页7、某公司正在考虑投资5个项目。下表给出了每个项目在初期时间需要的现金流以及产生的投资收益（所有单位都是千万元人民币）。在初期时,可用于投资的资金为10000万元。项目1和2相互排斥，也就是说，公司不能同时投资这两个项目。项目3和4也是相互排斥的。此外,除非投资项目5，否则不能投资项目2。试建立数学模型，确定应当投资哪些项目，才能使该投资收益最大。并计算最优解与最优值。共8页，

5、第8页8、某镇上共有A、B两家超市，为了争取更大的市场份额，A超市考虑了4种销售策略，记为A1、A2、A3、A4；B超市考虑了3种销售策略，记为B1、B2、B3，下表给出了在各种策略组合下，A超市的市场份额（%）。B超市份额%A超市策略B1策略B2策略B3策略A1705035策略A2454050策略A3555055策略A4604550对每家超市而言，并没有绝对的最好策略，如果A超市选择策略A1，希望获得70%的市场份额，那么B超市不会采用策略B1，而采用策略B3，使A超市只能获得35%的市场份额，在此情况下，A超市又会调整策略……。（1）寻求一对策略组合（称为平衡

6、策略组合），使A、B两家超市都只能理智地保持现状，再调整策略反而对己不利。（2）如果将上表中A3B1策略组合的市场份额由55%换成45%，是否还存平衡策略组合？（3）一般地，如果A、B两个超市分别有m、n个策略，如何从各种策略组合的市场份额表中，确定平衡策略组合的存在与否？共8页，第8页