2018届高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法学案 文

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1、1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识点一　一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集______________________________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集______________

2、__________答案{x

3、xx2}　{x

4、x≠－}{x

5、x1

6、(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x

7、x>0}，则S∩T＝(　　)A．[2,3]B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞)D．(0,2]∪[3，＋∞)解析：集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．答案：D2．不等式≤0的解集为(　　)A.B.C.∪[1，＋∞)D.∪[1，＋∞)解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为，选A.答案：A3．设一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x

8、－1

9、<2}，则ab的值为(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．－C．4D．－解析：因为一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x

10、－10(a≠0)恒成立的充要条件是：______(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：______(x∈R)．答案1.　2.4．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________．解析：①当m＝0时，1>0显然成

11、立．②当m≠0时，由条件知得00，即a2>16，∴a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)热点一　　一元二次不等式的解法【例1】　解关于x的不等式：(1)－2x2＋4x－3>0；(2)12x2－ax>a2(a∈R)；(3)>1(a>0)．【解】　(1)原不等式可化为2x2－4x＋3<0.又判别式Δ＝42－4×2×3<0，∴原不等式的解集为∅.(2)由12x2－ax－a2>0⇒

12、(4x＋a)(3x－a)>0⇒(x＋)(x－)>0，①当a>0时，－<，解集为{x

13、x<－或x>}；②当a＝0时，x2>0，解集为{x

14、x∈R且x≠0}；③当a<0时，－>，解集为{x

15、x<或x>－}．(3)－1>0⇒>0⇒[(a－1)x＋2－a](x－2)>0.①当a＝1时，不等式的解为x>2.②当a≠1时，关键是(a－1)的符号和比较与2的大小．∵－2＝，又a>0.∴当02，不等式的解为21时，<2，不等式的解为x<或x>2.综上所述，当0

16、2

17、x>2}；当a>1时，原不等式的

18、解集为{x

19、x<或x>2}.【总结反思】(1)解决二次问题的关键：一是充分利用数形结合；二是熟练进行因式分解．(2)通过解题程序，适时合理地对参数进行分类讨论．(3)应善于把分式不等式转化为整式不等式.解下列不等式：(1)00(a≠0)．解：(1)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x

20、－2≤x<－1或20知(x－5a)(x＋a)>0.由于a≠0故分a>0与a<0讨论．当a<0时，x<5a或x>－a；当a>0时，x<－a或x>5a.综上，a<0时，解集为{x

21、x<5a

22、或x>－a}；a>0时，解集为{x

23、x>5a或x<－a}．热点二一元二次不等式恒成立问题考向1　形如f(x)≥0(x∈R)恒成立问题【例2】　已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】　不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足