2018版高中数学 第三章 三角恒等变换章末复习课导学案 新人教a版必修4

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1、第三章三角恒等变换学习目标　1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.tan(α＋β)＝.tan(α－β)＝.2.二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝c

2、os2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.3.升幂缩角公式1＋cos2α＝2cos2α.1－cos2α＝2sin2α.4.降幂扩角公式sinxcosx＝，cos2x＝，sin2x＝.5.和差角正切公式变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ).6.辅助角公式y＝asinωx＋bcosωx＝sin(ωx＋θ).类型一　灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1　已知α，β为锐角，cosα＝

3、，tan(α－β)＝－，求cosβ的值.解　∵α是锐角，cosα＝，∴sinα＝，tanα＝.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.∵β是锐角，∴cosβ＝.反思与感悟　给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等.跟踪训练1　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相

4、交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值.解　(1)由题可知，cosα＝，cosβ＝.由于α，β为锐角，则sinα＝，sinβ＝，故tanα＝，tanβ＝，则tan(α－β)＝＝＝－.(2)因为tan(α＋β)＝＝1，sinα＝<，sinβ＝<，即α＋β<，故α＋β＝.类型二　整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2　求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值.解　设sinx＋cosx＝t，则t＝sinx

5、＋cosx＝＝sin，∴t∈[－，]，∴sinx·cosx＝＝.∵f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，].当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f(x)min＝－1，此时，由sin＝－，解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.当t＝，即sinx＋cosx＝时，f(x)max＝＋，此时，由sin＝，即sin＝1，解得x＝2kπ＋，k∈Z.综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2

6、kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.反思与感悟　在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2　求函数y＝sinx＋sin2x－cosx(x∈R)的值域.解　令sinx－cosx＝t，则由t＝sin知，t∈[－，].又sin2x＝1－(sinx－cosx)2＝1－t2，∴y＝(sinx－cosx)＋sin2x＝t＋1－t2＝－2＋.当t＝时，ymax＝；当t＝－时，ymin＝－－1.∴函数的值域为.类型三　转化

7、与化归思想在三角恒等变换中的应用例3　已知函数f(x)＝2sin(x－3π)sin＋2sin2－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值.解　(1)因为f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期为π.又因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]，所以f(x)的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知，f(x0)＝2sin.又因为f(x0)＝，所以si

8、n＝.由x0∈，得2x0＋∈，所以cos＝－＝－，cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝.反思与感悟　(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.跟踪训练3　已知cos＝，