2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式学案（含解析）新人教b版必修2

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1、2.1.2　平面直角坐标系中的基本公式1.掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式.(重点)2.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.(难点)3.体会坐标法在几何中的作用.(重点)4.坐标法在证明几何问题中的应用.(难点)[基础·初探]教材整理　两点间距离公式及中点公式阅读教材P68～P71“例4”以上内容，完成下列问题.1.已知在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有d(A，B)＝

2、AB

3、＝.2.已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x＝，y

4、＝.1.如图212，由A(－4，－2)，B(4，－2)，C(4,4)，是否能求出d(A，C)?图212【答案】　能，d(A，C)＝＝10.2.(1)如图213，若A(－1,1)，C(3,1)连线的中点为M1(x，y),则x，y满足什么条件？图213【答案】　x－(－1)＝3－x，y＝1.(2)若B(3,4)，那么BC的中点M2的坐标是什么？【答案】　.[小组合作型]两点的距离公式的应用　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0)，B(a,0)，C(0,a).求证：△ABC是等边三角形.【精彩点拨】　解答本题可以尝试利用两点的

5、距离公式求出三边长，再用三角形知识解决.【自主解答】　由两点的距离公式得

6、AB

7、＝＝2

8、a

9、，

10、BC

11、＝＝2

12、a

13、，

14、CA

15、＝＝2

16、a

17、.∴

18、AB

19、＝

20、BC

21、＝

22、CA

23、，故△ABC是等边三角形.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.[再练一题]1.本例若改为：已知A(－1，－1)，B(3,5)，C(5,3)，试判断△ABC的形状.【解】　d(A，B)＝＝＝＝2，d(A，

24、C)＝＝＝＝2，d(B，C)＝＝＝＝2.所以

25、AB

26、＝

27、AC

28、≠

29、BC

30、，且显然三边长不满足勾股定理，所以△ABC为等腰三角形.中点公式的应用　已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(－3,4)，求另外两顶点C、D的坐标.【导学号：45722072】【精彩点拨】　可以画图分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解.【自主解答】　设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点得：得设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点得得故C点坐标为(－10,6)，D点坐

31、标为(－11,1).1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的.2.中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解.[再练一题]2.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(2,0)，D(1,3)，求顶点C的坐标.【解】　∵平行四边形的对角线互相平分，∴平行四边形对角线的中点坐标相同.设C点坐标为C(x，y)，则∴即C(3,3).[探究共研型]坐标法的应用探究1　

32、如何建立平面直角坐标系？【提示】　(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.探究2　建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？【提示】　不影响.　在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC.求证：△ABC为等腰三角形.【精彩点拨】　→→→→→【自主解答】　如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设

33、A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b

34、AB

35、2＝

36、AD

37、2＋BD·DC，∴b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，∴－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又∵d－b≠0，∴－b－d＝c－d，即－b＝c.∴

38、AB

39、＝

40、AC

41、，故△ABC为等腰三角形.1.对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化.2.在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、

42、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点.[再练一题]3.已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：

43、AM

44、＝

45、BC

46、.【证明】　如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设B，C两点的坐标分别为