2018版高考数学 专题2 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.1 对数的概念和运算律学案 湘教版必修1

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1、2．2.1　对数的概念和运算律[学习目标]　1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.4.掌握对数的运算性质及其推导.5.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．[知识链接]1．＝4,＝.2．若2x＝8，则x＝3；若3x＝81，则x＝4.3．在指数的运算性质中：am·an＝am＋n，＝am－n，(am)n＝amn.[预习导引]1．对数的概念如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数．把上述定义中的b＝logaN代入ab＝N，

2、得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，这两个等式叫作对数的基本恒等式：alogaN＝N，b＝logaab.由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝1，loga1＝logaa0＝0.2．对数的运算法则如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)loga＝logaM－logaN.3．常用对数与自然对数(1)以10为底的对数叫作常用对数，log10N记作lg_N.(2)以无理数e＝2.71828…为底的对数叫作自然对数．logeN通常记为lnN.要点一　指数式

3、与对数式的互化例1　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log232＝－5；(5)lg0.001＝－3.解　(1)log2＝－7.(2)log327＝a.(3)lg0.1＝－1.(4)2－5＝32.(5)10－3＝0.001.规律方法　1.解答此类问题的关键是要搞清a，x，N在指数式和对数式中的位置．2．若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成指数式．跟踪演练1　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)log3x＝6；(2)lne＝1；(3)43＝64

4、.解　(1)36＝x.(2)e1＝e.(3)log464＝3.要点二　对数式的计算与化简例2　求下列各式的值：(1)；(2)2log32－log3＋log38－log5125；(3)log2＋log212－log242；(4)(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.解　(1)原式＝＝＝＝.(2)原式＝2log32－log332＋log39＋log323－log553＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(3)原式＝log2＝log22＝－.(4)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5

5、＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.规律方法　1.进行对数式的计算与化简，主要依据是对数的运算法则，同时要注意结合对数恒等式、对数性质的应用．2．应用对数的运算法则时，除了正用这些法则外，还要注意它们的逆用．3．lg2＋lg5＝1，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2在计算和化简时经常使用，注意记忆．4．在对数的运算和化简中提取公因式，因式分解等仍适用．跟踪演练2　(1)已知lga＝2.4310，lgb＝1.4310，则等于(　　)A.　　　　B.　　　　C．10　　　　D．100(2)计算下列各式的值：①4lg2＋3lg5－lg；②.(3)化简：.(1)答案　B解析　由于lg＝l

6、gb－lga＝1.4310－2.4310＝－1，∴＝10－1＝，故选B.(2)解　①原式＝lg＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.②原式＝＝＝＝1.(3)解　方法一　原式＝＝＝.方法二　(逆用公式)：原式＝＝＝.要点三　对数恒等式alogaN＝N的应用例3　计算：31＋log35－24＋log23＋103lg3＋log25.解　31＋log35－24＋log23＋103lg3＋log25＝3×3log35－24×2log23＋(10lg3)3＋(2log25)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－.规律方法　对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求

7、首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数．跟踪演练3　求值：(1)9log34；(2)51＋log52.解　(1)9log34＝(32)log34＝3log34＝4.(2)51＋log52＝5·5log52＝5×2＝10.1．已知ab＞0，则下面4个式子中，正确的个数为(　　)①lg(ab)＝lga＋lgb；②lg＝lga－lgb