2018版高考数学 专题1 集合与函数 1.2.6 分段函数学案 湘教版必修1

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1、1.2.6　分段函数[学习目标]　1.能说出分段函数的定义.2.能根据题意用分段函数表示函数关系.3.会画出分段函数的图象.4.能求分段函数的函数值或由函数值求自变量的值．[知识链接]作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线．[预习导引]1．如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．2．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数．3．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．4．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象

2、.要点一　分段函数求值例1　已知函数f(x)＝(1)求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．解　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.∵f＝－＋1＝－，而－2<－<2，∴f[f(－)]＝f＝2＋2×＝－3＝－.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2＞－2，不合题意，舍去．当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，

3、∴a＝1符合题意．当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.规律方法　1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．跟踪演练1　已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)A．0　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2答案　C解析　f(2)＝＝1.要点二　分段函数的图象及应用例2　已知f(x)＝(1)画出f(x)的图象

4、；(2)求f(x)的定义域和值域．解　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．规律方法　1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函

5、数来画图象．3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．跟踪演练2　作出y＝的图象，并求y的值域．解　y＝值域为y∈[－7,7]．图象如下图．要点三　分段函数的解析式例3　国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿费的11%纳税．(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x元与纳税额y元的函数关系式；(2)某人出版了一本书，得稿费5200元，那么他应纳税多少元？(3)某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？解　(1)依题意有：当0＜

6、x≤800时，y＝0；当800＜x≤4000时，y＝(x－800)×14%；当x＞4000时，y＝x×11%.故y与x之间的函数关系式是y＝(2)某人得稿费x＝5200，显然x＞4000，∴y＝5200×11%＝572(元)．即他应纳税572元．(3)令(x－800)×14%＝420，解得x＝3800∈(800，4000]，而令x×11%＝420，解得x＝3818∉(4000，＋∞)，故x＝3818(舍去)．∴这个人的稿费为3800元．规律方法　1.实际问题应仔细审题，明确该函数分段情况，弄清每段上对应解析式及自变量的取值范围．2．在解析式中，分段点不能重

7、复，也不能遗漏，例如本题中，自变量的三段是0＜x≤800,800＜x≤4000和x＞4000，但不能写成0＜x≤800,800≤x＜4000和x＞4000.跟踪演练3　某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地后没有停留，再以65千米/时的速度返回A地．试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数．解　该人从A到B地所用时间为＝5时，从B地返回A地所需时间为＝4时．因此当0≤t≤5时，s＝52t；当5＜t≤9时，s＝260＋65t.于是此人驱车走过的路程s与时间t的函数关系式如下：s＝1．函数y＝

8、x

9、的图象是(　　)答案　

10、B解析　∵y＝

11、x

12、＝∴B选项正确．2．设函数f(x)＝则f(f(