2019版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.7 解三角形应用举例学案 理

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1、3.7　解三角形应用举例[知识梳理]实际问题中的常用术语[诊断自测]1．概念思辨(1)方位角α的大小范围是0°≤α<360°，方向角β的大小范围一般是0°≤β<90°(　　)(2)如图1，为了测量隧道口AB的长度，测量时应当测量数据a，b，γ.(　　)(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α＋β＝180°.(　　)(4)如图2，DC＝a，从C，D两点测得点A的仰角分别为β和α，则能求出AB的长．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(必修A5P20T6)若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的

2、(　　)A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°答案　B解析　如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.故选B.(2)(必修A5P19T7)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km，参考数据：≈1.732)(　　)A．11.4kmB．6.6kmC．6.5kmD．5.6km答案　B解析　∵AB＝1000×＝

3、(km)，∴BC＝·sin30°＝(km)．∴航线离山顶h＝×sin75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．故选B.3．小题热身(1)在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B，C间的距离为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3cos120°＝19.∴BC＝.故选D.(2)(2018·大同模拟)江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部

4、在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距______m.答案　10解析　如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理，得MN＝＝＝10(m)．题型1　测量距离问题　　(2017·荔湾区期末)某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、D两地(假设A、B、C、D在同一平面上)测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗

5、等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？用正弦定理求出AC，BC，再用余弦定理求AB.解　在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝75°＋45°＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝，在△BCD中，∵∠BDC＝30°＋45°＝75°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝60°，由正弦定理得：＝，∴BC＝＝＝.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝3＋2－2××＝5，∴AB＝.故施工单位应该准备电线长为×＝5km.方法技巧距离问题的常见类型及解法1．类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸．2

6、．解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．提醒：解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．冲关针对训练如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)A．50mB．50mC．25mD.m答案　A解析　由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50(m)．故选A.题型2　测量高度问题　　(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测

7、得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.在△ABC中用正弦定理求出AC，再在△ACD中求CD.解　由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴AC＝＝.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝.故山高CD为.方法技巧求解高度问题的三个关注点1．在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方