2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积及其应用学案文北师大版

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1、§5.3　平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、射影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1．向量的夹角已知两个非零向量

2、a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则

3、a

4、

5、b

6、·cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b射影

7、a

8、cosθ叫作向量a在b方向上的射影，

9、b

10、cosθ叫作向量b在a方向上的射影几何意义a·b的数量积等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的射影

13、b

14、cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝

15、a

16、cosθ.(2)a⊥b⇔a·

17、b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝

18、a

19、

20、b

21、；当a与b反向时，a·b＝－

22、a

23、

24、b

25、.特别地，a·a＝

26、a

27、2或

28、a

29、＝.(4)cosθ＝.(5)

30、a·b

31、≤

32、a

33、

34、b

35、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则

36、a

37、2＝x2＋y2或

38、a

39、＝

40、.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离

41、AB

42、＝

43、

44、＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝.知识拓展1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝

45、a2－2a·b＋b2.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．(　√　)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)(5)两个向量的夹角的范围是.(　×　)(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)题组二　教材改编2．已知向量a＝(2,1)，

46、b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案　12解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．已知

47、a

48、＝5，

49、b

50、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的射影为________．答案　－2解析　由数量积的定义知，b在a方向上的射影为

51、b

52、cosθ＝4×cos120°＝－2.题组三　易错自纠4．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b

53、与2a－b平行，那么a与b的数量积为________．答案　解析　a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的射影为________．答案　解析　＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知，在方向上的射影为＝＝.6．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.答案　－解析　

54、∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，

55、a

56、＝

57、b

58、＝

59、c

60、＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，∴a·b＋b·c＋a·c＝－.题型一　平面向量数量积的运算1．设四边形ABCD为平行四边形，

61、

62、＝6，

63、

64、＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)A．20B.15C．9D．6答案　C解析　＝＋，＝－＝－＋，∴·＝(4＋3)·(4－3)＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，故选C.2．(2018届“超级全能生”全国联考)在