2019版高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 11.2 数系的扩充与复数的引入学案 理

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1、11.2　数系的扩充与复数的引入[知识梳理]1．复数的有关概念2．复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数乘法的运算

2、定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.(4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数．4．模的运算性质：①

3、z

4、2＝

5、

6、2＝z·；②

7、z1·z2

8、＝

9、z1

10、

11、z2

12、；③＝.[诊断自测]1．概念思辨(1)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有两个根．(

13、　　)(2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．(　　)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－2P116A组T1(3))在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　D解析　z＝＝＝－i，其对应的点为，在第四象限．故选D.(2)(选修A2－2P112A组T3)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若

14、C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i答案　C解析　∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C.3．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)＝(　　)A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i答案　D解析　＝＝＝2－i.故选D.(2)(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则

15、z

16、＝(　　)A．1B.C.D．2答案　A解析　由已知＝i，可得z＝＝＝＝i，∴

17、z

18、＝

19、i

20、＝1，故选A.题型1　复数的有关概念　　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，

21、求x，y.复数问题实数化．解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或方法技巧有关复数的基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．见典例．冲关针对训练(2018·山西四校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(　　)A．－2B．－1C．

22、0D.答案　C解析　因为＝＝－，所以a＝，b＝－，a＋b＝1，所以lg(a＋b)＝0，故选C.题型2　复数的几何意义　　(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则

23、z

24、＝(　　)A.B.C.D．2先求z的代数形式，再求

25、z

26、.答案　C解析　由(1＋i)z＝2i得z＝＝1＋i，∴

27、z

28、＝.故选C.方法技巧复数几何意义及应用1．复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．提醒：

29、z

30、的几何

31、意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则

32、z

33、＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是

34、z

35、的几何意义；

36、z1－z2

37、的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．冲关针对训练　若复数z满足①

38、z

39、≥1；②

40、z＋i

41、≤

42、－1－2i

43、，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．答案　4π解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，由

44、z

45、≥1及

46、z＋i

47、≤

48、－1－2i

49、易得x2＋y2≥1及x2＋(y＋1)2≤5知z在复平面内对应图形的面积为5π－π＝4π.题型3　复数的代数运算　　(2016·全国卷Ⅲ)若