2018版高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.2 瞬时变化率——导数（一）学案 苏教版选修1-1

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1、3．1.2　瞬时变化率——导数(一)学习目标　1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度．知识点一　曲线上一点处的切线思考　如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？　　梳理　可以用逼近的方法来计算切线的斜率，设P(x，f(x))，Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝.当Δx无限趋近于0时，____________无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的________．知识点二　瞬时速度与

2、瞬时加速度思考　瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？　　梳理　(1)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的________________，即位移对于时间的________________．(2)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的________________，即速度对于时间的________________．知识点三　函数的导数思考1　函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？　　思考2　

3、导数f′(x0)有什么几何意义？　梳理　设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处________，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作________．类型一　求曲线在某点处的切线斜率例1　如图，已知曲线y＝x3上一点P，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．　　　反思与感悟　解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限

4、趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．跟踪训练1　若曲线f(x)＝x2－1在点P处的切线的斜率为k，且k＝2，则点P的坐标为__________．类型二　求瞬时速度、瞬时加速度例2　已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；(2)求质点M在t＝2s时的瞬时加速度．　　反思与感悟　(1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．(2)求瞬时加速度：①求平均加速度；②令

5、Δt→0，求出瞬时加速度．跟踪训练2　质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．　　　　　类型三　求函数在某点处的导数例3　求函数y＝在x＝1处的导数．　　反思与感悟　根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)得导数，当Δx→0时，→f′(x0)．关键是在求时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用．跟踪训练3　利用定义求函数y＝x＋在x＝1处的导数．　1

6、．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________．2．任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．3．已知物体运动的速度与时间之间的关系：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间段[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则点P坐标为____________．5．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx趋近于零时，无限趋近于常数________．1．曲

7、线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率．2．瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度．提醒：完成作业　第3章　§3.1　3.1.2(一)答案精析问题导学知识点一思考　当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．这个确定的位置的直线PT称为过点P的切线．梳理　　斜率知识点二思考　瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率，瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率．梳理　(1)瞬时速度　瞬时变化率(2)瞬时加速度　瞬时变化率知识点三思考1　函数f(x)在点x0附近的平均变化率为＝，当Δx→0时，

8、→A，A就是f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．思考2　f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)