高三数学一轮复习 7.4 转化与化归思想学案

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1、专题七：思想方法专题第四讲转化与化归思想【思想方法诠释】数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学能力，是高考重点考查的最重要的思想方法．在高中数学的学习中，它无个不在，比如：处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．1．转化与化归的原则（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化．（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当．（3）具体化原则：

2、即化归言论自由应由抽象到具体．（4）低层次原则：即将高维空间问题化归成低维空间问题．（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．2．转化与化归常用到的方法（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于

3、解决的问题．（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．（10

4、）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集使原问题得以解决．【核心要点突破】要点考向1：函数、方程、不等式之间的转化例1：已知函数f(x)=x2+2x+alnx．或函数f(x)在区间(0，1]上为单调增函数，求实数a的取值范围．思路精析：单调增函数→不等式恒成立→分离参数→求函数最值→实数a的范围解析：∵f(x)在区间(0，1]上为单调增函数．∴f’(x)≥0在(0，1]上恒成立．亦即：a≥-(2x2+2x)在(0，1]上恒成立，又在(0，1]上为单调递减，∴当a≥0

5、时，f(x)在区间(0，1]上为单调增函数注：函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程，不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围．要点考向2：正面与反面的转化例2：有9张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片（不放回），试求：（1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率．（2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率．思路精析：（1）甲、乙二

6、人依次各抽一张的可能结果→甲抽到含奇数，乙抽到含偶数数字卡片的结果→求概率．（2）找对立事件→求对立事件概率→求出原事件概率．解答：（1）甲、乙二人依次从九张卡片中各抽取一张的可能结果有，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有种，设甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为P1，则（2）设甲、乙二人至少抽到一张奇数数字的概率为P2，甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字卡片．设为，则注：一般地，一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，宜从反而考虑，多使用于“至多”“至少”这

7、种情形．要点考向3：命题的等价转化例3：已知f(x)为定义在实数R上的奇函数，且f(x)在[0,+∞)上是增函数．当时，是否存在这样的实数m，使对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．思路精析：由奇偶性及单调性→f(x)单调性→关于的不等式→一元二次不等式恒成立→函数最值→m的范围．解析：由f(x)是R上的奇函数可得f(0)=0．又在[0,+∞)上是增函数，故f(x)在R上为增函数．由题设条件可得又由f(x)为奇函数，可得∵f(x)在R上为增函数，∴即．令于是问题转化为对一切0≤t≤1,不等式t2-mt+2m-2＞0

8、恒成立．又∴存在实数m满足题设的条件，注：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关，易于解决的新问题，是我们解决数学