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时间:2018-12-16
《高三数学大一轮复习讲义 第3章 导数的综合应用学案 苏教版 》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、学案15 导数的综合应用导学目标:1.应用导数讨论函数的单调性,并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题.自主梳理1.已知函数单调性求参数值范围时,实质为恒成立问题.2.求函数单调区间,实质为解不等式问题,但解集一定为定义域的子集.3.实际应用问题:首先要充分理解题意,列出适当的函数关系式,再利用导数求出该函数的最大值或最小值,最后回到实际问题中,得出最优解.自我检测1.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为________.2.(2011·扬州模拟)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g
2、(x)≠0,f′(x)g(x)0,且a≠1),+=,则a的值为____________.3.(2011·厦门质检)已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m为________.4.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间上的值域为______________.5.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为________.探究点一 讨论函数的单调性例1 已知函数f(x)=x2e-ax
3、(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.变式迁移1 设a>0,函数f(x)=.(1)讨论f(x)的单调性;(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值.探究点二 用导数证明不等式例2 已知f(x)=x2-alnx(a∈R),(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当x>1时,x2+lnxln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.探究点三 实际生活中的优化问题例3 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的
4、成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).变式迁移3 甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为
5、赔付价格).(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是多少?转化与化归思想例 (14分)(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.(1)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;(2)证明:(x-1)f(x)≥0.【答题模板】(1)解 ∵f′(x)=+lnx-1=lnx+,x>0,[2分]∴xf′(x)=xl
6、nx+1.由xf′(x)≤x2+ax+1,得a≥lnx-x,令g(x)=lnx-x,则g′(x)=-1,[5分]当00;当x>1时,g′(x)<0,∴x=1是最大值点,g(x)max=g(1)=-1,∴a≥-1,∴a的取值范围为[-1,+∞).[8分](2)证明 由(1)知g(x)=lnx-x≤g(1)=-1,∴lnx-x+1≤0.(注:充分利用(1)是快速解决(2)的关键.)[10分]当07、,x-1>0,f(x)=(x+1)lnx-x+1=lnx+xlnx-x+1=lnx-x≥0,∴(x-1)f(x)≥0.综上,(x-1)f(x)≥0.[14分]【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.通过转化,本题实质还是利用单调性求最值问题.1.求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要分类讨论参数的范围.若已知函数单调性求参数范围时,隐含恒成立思想.2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:8、(1)分析实际问题中各变量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出相应的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f′(x
7、,x-1>0,f(x)=(x+1)lnx-x+1=lnx+xlnx-x+1=lnx-x≥0,∴(x-1)f(x)≥0.综上,(x-1)f(x)≥0.[14分]【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.通过转化,本题实质还是利用单调性求最值问题.1.求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要分类讨论参数的范围.若已知函数单调性求参数范围时,隐含恒成立思想.2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:
8、(1)分析实际问题中各变量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出相应的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f′(x
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