高三数学总复习知能达标训练第六章第六节 直接证明与间接证.doc

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1、高三数学总复习知能达标训练第六章第六节直接证明与间接证明(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．(2012·青岛模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是A．0　　　　　　　　　　B．1C．2D．3解析　①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.答案　C2．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是A．a＞b＞cB．b＞c＞

2、aC．c＞a＞bD．a＞c＞b解析　a＝，b＝，c＝.∵0＜＋＜＋＜＋，∴＞＞.∴a＞b＞c答案　A3．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案　D4．(2012·临沂模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立A．不成立B．成立C．不能断定D．能断定解析　∵Sn＝2n2－3n，∴Sn

3、－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．答案　B5．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°答案　B6．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若＞，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则＞D．若a2＞b2且ab＞0，则＜答案　C二、填

4、空题(3×4分＝12分)7．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为________．解析　由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)·f(－1)＜0，∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)＜0.∴－1＜a＜－.答案　－1＜a＜－8．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋≥________.解析　＋＋＝＋＋＝3＋≥3＋(2＋2＋2)＝9.答案　99．(2012·莱芜调研)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任

5、意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．解析　∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴≤f＝f，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.答案　三、解答题(38分)10．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.(1)证明：是f(x)＝0的一个根；(2)试比较

6、与c的大小；(3)证明：－2＜b＜－1.解析　(1)证明　∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不相等的实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根．又x1·x2＝，∴x2＝.∴是f(x)＝0的一个根．(2)假设＜c，又＞0，由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f＞0与f＝0矛盾，∴≥c，又∵≠c，∴＞c.(3)证明　由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－＝＜＝x2＝，即－＜.又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.11．

7、(12分)(2012·合肥模拟)(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．解析　(1)证明　x是正实数，由均值不等式知x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥2，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．(2)若x∈R不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，当x＞0时，不等式成立；当x≤0时，8x3≤

8、0，而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2·(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)≥0，此时不等式仍然成立．12．(14分)已知在数列{an}中，a1