高中数学 2.2.1《等差数列》例题解析 新人教B版必修5.doc

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1、等差数列·例题解析 【例1】在100以内有多少个能被7个整除的自然数?解∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列,其中a1=7,d=7,an=98.代入an=a1+(n-1)d中,有98=7+(n-1)·7解得n=14答100以内有14个能被7整除的自然数.【例2】在-1与7之间顺次插入三个数a,b,b使这五个数成等差数列,求此数列.解设这五个数组成的等差数列为{an}由已知:a1=-1,a5=7∴7=-1+(5-1)d解出d=2所求数列为:-1,1,3,5,7.插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项.【例4

2、】在[1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个?解设an=3n,bm=4m-3,n,m∈N得n=4k-1(k∈N),得{an},{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn=12n-3(n∈N).则在[1000,2000]内{cn}的项为84·12-3,85·12-3,…,166·12-3∴n=166-84+1=83∴共有83个数.【例5】三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.解设三个数分别为x-d,x,x+d.解得x=5,d=±2∴所求三个数为3、5、7或7、5、3说明注意学习本题对三

3、个成等差数列的数的设法.【例6】已知a、b、c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.证∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c)∴b+c、c+a、a+b成等差数列.说明如果a、b、c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,如果求证a、b、c成等差数列,常改证2b=a+c.本例的意图即在让读者体会这一点.可能是等差数列.分析直接证明a、b、c不可能是等差数列,有关等差数列的知识较难运用,这时往往用反证法.证假设a、b、c是等差数列,则2b=

4、a+c∴2ac=b(a+c)=2b2,b2=ac.又∵a、b、c不为0,∴a、b、c为等比数列,又∴a、b、c为等差数列,∴a、b、c为常数列,与a≠b矛盾,∴假设是错误的.∴a、b、c不可能成等差数列.【例8】解答下列各题:(1)已知等差数列{an},an≠0,公差d≠0,求证:①对任意k∈N,关于x的方程akx2+2ak+1x+ak+2=0有一公共根;分析与解答(1)akx2+2ak+1x+ak+2=0∵{an}为等差数列,∴2ak+1=ak+ak+2∴akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0∴(akx+ak+2)(x+

5、1)=0,ak≠0∵{an}为等差数列,d为不等于零的常数(2)由条件得2b=a+c∴4RsinB=2RsinA+2RsinC,2sinB=sinA+sinC分析至此,变形目标需明确,即要证由于目标是半角的余切形式,一般把切向弦转化,故有【例9】若正数a1,a2,a3,…an+1成等差数列,求证:证明设该数列的公差为d,则a1-a2=a2-a3=…=an-an+1=-d∴a1-an+1=-nd∴原等式成立.【例10】设x≠y,且两数列x,a1,a2,a3,y和b1,x,

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