高中数学竞赛系列讲座03.doc

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1、第三讲　二次函数(上)　　二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。　　学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+

2、b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f(-b/2a+x)=f(-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。　　一、“四个二次型”概述　　在河南教育出版社出版的《漫谈ax2+bx+c》一书中（作者翟连林等），有如下一个“框图”：（一元）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)→a=0→（一元）一次函数y=bx+c(b≠

3、0)↑↑↑↑（一元）二次三项式ax2+bx+c(a≠0)→a=0→　　一次二项式　　bx+c(b≠0)↓↓↓↓↓↓↓↓↓一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)→a=0→ 一元一次方程bx+c=0(b≠0)↓↓     ↓一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)→a=0→一元一次不等式bx+c>0或bx+c<0(b≠0)   　　观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整

4、个“四个二次型”的运动脉络。而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即n∈R；它的解析式f(x)即是二次三项式ax2+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax2+bx+c=0（a≠0），就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元

5、二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半功倍。　　二、二次函数的解析式　　上面提到，“四个二次型”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特别注意二次项系数a≠0）；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。　　Y=ax2+bx+c(a≠0)中有三个字母系数a、b、c，确定二次函数的解析式就是确定字母a、b、c的取

6、值。三个未知数的确定需要3个独立的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。　　二次函数有四种待定形式：　　1．标准式（定义式）：f(x)=ax2+bx+c.(a≠0)　　2．顶点式：　　　　　f(x)=a(x-h)2+k.(a≠0)　　3．两根式（零点式）：f(x)=a(x-x1)(x-x2).(a≠0)　　4．三点式：（见罗增儒《高中数学竞赛辅导》）　　过三点A（x1,f(x1)）、B（x2,f(x2)）、C（x3,f(x3)）的二次函数可设为　　f(x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把A

7、BC坐标依次代入，即令x=x1,x2,x3,得　　　　　　　　f(x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)，　　　　　　　　f(x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)，　　　　　　　　f(x3)=a3(x3-x1)(x3-x2)　　解之，得：a1=f(x1)/(x1-x2)(x1-x3)，a2=f(x2)/(x2-x1)(x2-x3)，a3=f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)　　从而得二次函数的三点式为：f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/(x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f

8、(x3)/