高中数学 2.3数学归纳法练习 新人教a版选修2-2

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1、2015高中数学2.3数学归纳法练习新人教A版选修2-2一、选择题1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)A．1＋<2　　　　　B．1＋＋＜2C．1＋＋＜3D．1＋＋＋＜3[答案]　B[解析]　∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3[答案]　B[解析

2、]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)A．B．C．＋D．－[答案]　D[解析]　f(n＋1)－f(n)＝－＝＋－＝－.4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案]　C[解析]　原命题正确，则逆否命题

3、正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　)A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[答案]　C[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1

4、边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案]　C[解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.二、填空题7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C．D．[答案]　B[解析]

5、　n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.8．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________.[答案]　[解析]　解法1：通过计算易得答案．解法2：Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.9．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝

6、＋＋…＋，第一步应验证的等式是________．[答案]　1－＝[解析]　当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．三、解答题10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.由此猜想an＝(n∈N*)(2)证明：①当

7、n＝1时，a1＝1结论成立，②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，即ak＝，当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak∴ak＋1＝＝，∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，an＝成立．一、选择题11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)A．k2＋1B．(k＋1)2C．D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2[答案]　D[解析]　n＝k时，左边＝1＋

8、2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D.12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.(　　)A．2πB．πC．D．[答案]　B[解析]　将k＋1边形A1A2…A