高中数学 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示(1)学案 新人教a版选修2-1

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1、3．2．2平面的法向量与平面的向量表示(1)一、学习目标理解平面法向量的概念、平面的向量表示的概念，会求平面的法向量．二、知识梳理(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．已知平面a的一个法向量，又且在a内，则＝()A．B．C．D．2．下列命题中正确的是()A．若是平面ABC的一个法向量，则和平面ABC内任意一条直线的方向向量垂直B．若和平面ABC内两条直线的方向向量垂直，则是平面ABC的法向量C．若既是平面a的法向量，又是平面b的法向量，则a∥bD．若a∥b，则它们所有共同的法向量在一条直线上3．如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M、N分

2、别是PC、AB中点，则MN与平面PCD所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°(二)填空题5．已知，则平面ABC的一个法向量为____________．6．已知空间一点A(1，2，－1)，，空间一点M(x，y，z)满足，则x，y，z之间的关系是____________．7．已知向量(1，－7，8)，(0，14，16)，，∈(0，)，若平面OAB，则＝__________________．8．直三棱柱ABC

3、－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1，M是AA1的中点，则____________(是，不是)平面AB1C1的一个法向量．9．下列命题中：(1)平面可以用平面内两条平行直线的方向向量表示；(2)平面的法向量不一定在一条直线上；(3)平面的所有法向量都是共线向量；(4)若两个平面垂直，则它们的法向量也垂直．其中正确命题的序号是______________________________．(三)解答题10．已知(2，2，1)，(4，5，3)求平面ABC的单位法向量．11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1．12．如

4、图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．三、自我评价完成时间成功率札记参考答案3．2．2平面的法向量与平面的向量表示(1)1．C2．A3．D4．D5．(－2，3，1)6．＋1＝07．8．是9．(2)(3)(4)10．解：设面ABC的法向量＝(x，y，1)，则且，即，且，即即∴，单位法向量为或11．证明：以D为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)

5、∴＝(－1，0，－1)，＝(0，1，－1)，(1，1，0)，＝(0，1，－1)．设平面A1BD的法向量为．则令z＝1，得x＝－1，y＝1．∴平面A1BD的一个法向量为＝(－1，1，1)．设平面CD1B1的一个法向量为．则令z＝1，得x＝－1，y＝1．∴＝(－1，1，1).．∴平面A1BD∥平面CD1B1．12．证明：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系．则B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)．＝(－2，－2，2)，＝(－2，0，－2)，＝4＋0－4＝0∴．(Ⅱ)M(1，2，0)，P(2，2，1)，N(2，1，0)，＝(1，0，1)，＝(1，－1，0)，＝－2

6、＋0＋2＝0，＝－2＋2＋0＝0，∴．又MN∩PM＝M，∴BD1⊥平面MNP．