高中数学 4.1.1《复数的概念》学案 北师大版选修1-2

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1、复数的概念一、学法建议： 1、本节内容概念较多，在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：    实数也是复数，要把打复数与虚数加以区别，对于纯虚数bi(b≠0，不要只记形式，要注    意b≠0，如0i=0是实数，而不是纯虚数，初学复数时最易在这里出错。 2、复数z=a+bi(a、是由它实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化    成实数问题的主要方法，要很好的掌握之，此外要明确由一个复数等式可得到两个实数等式这一    性质，并在解题中会运用它。 3、对于复数z=a+bi(a、，即要从整体的角度去认识它，把复数z

2、看成一个整体；又要从实部、    虚部的角度分解成两部分去认识它；这在今后的解题中常会遇到，要逐步加以理解。 4、复数与点及向量均建立了一一对应关系，这两种对应关系是把复数给以几何解释的依据，学习时要    注意从不同角度认识并分析复数问题，以便寻找最佳的解题途径。 5、复数与点的一一对应，使复数问题与解析几何问题相互转化，如果复数的实部与虚部是一对实变    量，那么对应的点在平面上就是动点，如果复数变量按某种条件变化，那么复平面上对应点就    构成具有某种特征的点集合或轨迹，这样就把数与形有机地结合起来了。 6、复数与向量的对应，使复数的运算与向量的运算

3、得以统一，进而解决一些有关长度与夹角的问题，    后面的学习中会逐步加以认识。二、例题分析：                          第一阶段[例1]  思路分析： 本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数，由于所给复数z己写成标准形式，即z=a+bi (a、，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题。 解答： [例2]己知关于方程x的x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值。 思路分析： 方程的实根必然适合方程，设x=x0为方程的实根，代入整理后得a+bi=0的形式(a、,由复数相等 的充要条件

4、，可得关于x0与k的方程组，通过解方程组便可求得x0与k.   解答：   设x=x0是方程的实根，代入方程并整理得 (x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0                       第二阶段[例3]己知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,(x,yR) （1）当方程有实根时，求点(x、y)的轨迹方程。 （2）求方程实根的取值范围。 思想分析： （1）本题与例3相比，方程中有t、x、y三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个等式，而结论是 要求动点(x,y)的轨迹方程，联想到解析几何知识，求(x,y)的轨迹方

5、程就是求关于x、y的方程，于是 上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数t,问题得解。 （2）由上面解答过程中的②知x-y+t=0可看作一条直线，由③知(x-1)2+(y+1)2=2是一个圆，因此求实 根t的范围可转化为直线与圆有公共点的问题。 解： （1）设实根为t,则t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0     即(t2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0             由②得t=y-x代入①得（y-x)2+2(y-x)+2xy=0     即(x-1)2+(y+1)2=2……③     ∴所求点的轨迹方程为(x-1)2+(y+1

6、)2=2,轨迹是以(1,-1)为圆心，为半径的圆。 (2)由③得圆心为(1,-1),半径r=，           即│t+2│≤2，∴-4≤t≤0    故方程的实根的取值范围为[-4,0][例4]己知x、yR若x2+2x+(2y+x)i和3x-(y+1)i是共轭复数；求复数z=x+yi和  思路分析：若两上复数a+bi与c+di共轭，则a=c且b=-d由此可得到关于x、y的方程组。 解答：                              第三阶段[例5]己知aR,问复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点

7、的轨迹是什么？ 思路分析： 根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z对应的点在第几象限，与复数z的实部和虚部的符号有关， 所以本题的关键是判断(a2-2a+4)与-(a2-2a+2)的符号。 求复数z对应点的轨迹问题，首先把z表示成z=x+yi(x、yR)的形式，然后寻求x、y之间的关系，但要 注意参数限定的条件。 解： 由a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1 得z的实部为正数，z的虚部为负数， ∴复数z的对应点在第四象限。    消去a2-2a得y=-x+2(x≥3），∴复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y

8、=-x+2(x≥3）[例6]关于x的方