高中数学 导数在实际生活中的应用导学案 苏教版选修2-2

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1、导数在实际生活中的应用NO.10学习目标：1.通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值．2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．一、知识扫描：1．生活中的优化问题常见类型：费用最少省问题；利润最大问题；面积、体积最大问题.2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应先建立好目标函数后，把问题转化为上一节研究的内容。二、例题选讲：x60cm例1.在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图

2、），做成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？例2．某种圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？例3．在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E，当外电阻R多大时，才能使电动率最大？最大电功率是多少？例4．强度分别为a,b的两个光源A，B间的距离为d，试问：在连结两光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）例5．在经济学中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为，出售单位产品的收益称为收益函数，记为，

3、称为利润函数，记为.(1)如果,那么生产多少单位产品时，边际成本最低？(2)如果，产品的单价，那么怎样定价可使利润最大？三、课内练习：1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为____________2．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为___________3.在半径为的半圆内作一个内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为___________4．把长60c

4、m的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时矩形的面积最大？【归纳反思】1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是：（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程；（3）比较函数在区间端点和使的点的数值的大小,得到最大（小）值.2.解决生活中的优化问题应当注意的问题：（1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（

5、小）值.（3）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要确定出函数关系中自变量的定义区间.四、巩固提高：1．内接于半径为的球且体积最大的圆柱体的高为________2．有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为_______3．以长为10的线段为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为_________　3．若一球的半径为，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为_______5.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为　　　　　　　　　　　6．在半径为的圆内，作内

6、接等腰三角形，当底边上高为　　　　时它的面积最大.7．把长100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？8．做一个容积为的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？9．有一隧道是既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距正比于车速的平方与自身长的积，且车距不得小于半个车身长，而当车速为时，车距为1.44个车身长.在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道的车流量最大？*10.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产

7、品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.