高中数学 第2章　数列 章末整合章末检测同步精品学案 新人教a版必修5

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1、章末整合对点讲练一、等差数列与等比数列的基本运算例1　已知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列．又bn＝，n＝1,2,3，….(1)证明：{bn}为等比数列；(2)如果数列{bn}的前3项的和等于，求数列{an}的通项公式an及数列{bn}的前n项和Tn.点拨　先利用等差数列{an}的首项a1和公差d来表示bn，再证明{bn}为等比数列．(1)证明　∵lga1、lga2、lga4成等差数列，∴2lga2＝lga1＋lga4.即a＝a1a4，设等差数列{an}的公差为d，则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d.∵d≠0，∴a1＝d.∴a2

2、n＝a1＋(2n－1)d＝2n·d，∴bn＝＝·.∴{bn}是以为首项，为公比的等比数列．(2)解　∵b1＋b2＋b3＝＝，∴d＝3，∴a1＝d＝3.∴an＝a1＋(n－1)d＝3n，bn＝·n.Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝回顾归纳　在等差数列{an}中，通常把首项a1和公差d作为基本量，在等比数列{bn}中，通常把首项b1和公比q作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法．►变式训练1　等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.解　设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10

3、＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.由a3，a6，a10成等比数列得a3a10＝a，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4＝200；当d＝1时，a1＝a4－3d＝7，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.二、数列的通项公式和前n项和例2　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和．点拨　先利用等差数列的定义判断{bn}是等差数列，借助bn求出an是解决第(2)小题的关键．(1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n

4、得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解　由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1两边乘以2得：2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1∴Sn＝(n－1)·2n＋1.回顾归纳　递推数列问题通常借助构建等差数列或等比数列来解决．把一般数列问题转化为两种基本数列问题是解决数列的一种常用思想方法．►变式训练2　已知数列{an}的首项a1＝

5、，an＋1＝，n＝1,2，….(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn.(1)证明　∵an＋1＝，∴＝＝＋·，∴－1＝，又a1＝，∴－1＝.∴数列是以为首项，为公比的等比数列．(2)解　由(1)知－1＝n，∴＝1＋，∴＝n＋.设Tn＝＋＋＋…＋，则Tn＝＋＋…＋＋∴Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－＝1－∴Tn＝2－.又1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．∴数列的前n项和Sn＝2－＋.三、等差数列与等比数列的综合运用例3　已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(

6、n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．点拨　解答本题的关键是求出{an}的通项公式，注意Sn大于总成立⇔小于Sn的最小值．解　(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵a1＝1，解得(d＝0舍)，d＝2.∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)bn＝＝＝，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.假设存在整数t满足Sn>总成立，又Sn＋1－Sn＝－＝>0，∴数列{Sn}是单调递增的．∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.又∵t∈N*，∴适合条件的t的最大值为8.回顾

7、归纳　数列的综合问题形式上看来比较复杂，实质上求数列的通项公式和前n项和是解答这类综合问题的根本性问题和关键性所在．►变式训练3　设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t(t>0，n＝2,3,4，…)．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1＝1，bn＝f(n＝2,3,4，…)．求数列{bn}