高中数学4.2曲线的极坐标方程4.2.2常用曲线的极坐标方程知识导航学案苏教版选修4

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1、4.2.2常用曲线的极坐标方程自主整理1.若直线l经过点M（ρ0,θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是_________________.当直线l过极点，即______________时，直线l的极坐标方程是______________；当直线l过点M（a,0)且垂直于极轴时，直线l的极坐标方程是______________；当直线l过点M（b,)且平行于极轴时，直线l的极坐标方程是______________.答案:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)ρ0=0θ=αρc

2、osθ=aρsinθ=b2.若圆心的坐标为M（ρ0,θ0），圆的半径为r，则圆的极坐标方程是______________.当圆心位于极点，即______________时，圆的极坐标方程是______________；当圆心位于M（r,0)时，圆的极坐标方程是______________；当圆心位于M（r,)时，圆的极坐标方程是______________.答案:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0ρ0=0ρ=rρ=2rcosθρ=2rsinθ3.取圆锥曲线的焦点F为极点，以垂直于

3、对应准线l的方向为极轴的正方向，建立极坐标系，且设F到l的距离为p，e为到定点F与到准线l的距离之比，则圆锥曲线的极坐标方程是______________.当______________时，方程ρ=表示______________；当e=1时，方程为ρ＝，表示；当e>1时，方程ρ=表示______________，其中ρ∈R.答案:ρ=0

4、标方程，可以由曲线的几何特征直接得出相应的曲线方程；反之，已知曲线的方程也可以直接得出几何性质.3.与圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程更加简练，在极坐标系下，圆上点的坐标ρ，θ所满足的条件更容易表示，代数变换也更加直接.4.在直角坐标系内，直线方程具有“确定性”“惟一性”，而在极坐标系内直线的极坐标方程不仅要考虑极径的取值范围，而且方程是不惟一的，产生这种差异的原因是由于极角的“多值性”.名师解惑为什么极坐标系中的直线方程在形式上比直角坐标系下的直线方程复杂？剖析：直角坐标系是“正交”的

5、，直线上点的坐标（x,y）与倾斜角α间的关系是直角三角形下的关系，表达上比较方便；极坐标系下，直线上点的坐标（ρ，θ）与倾斜角α之间的关系不是直角三角形下的关系，表达上相对比较复杂.讲练互动【例题1】求：(1)过A(2,)且平行于极轴的直线；(2)过A(3,)且和极轴成的直线.思路分析：(1)在直线上任意取一点M，根据已知条件想办法找到变量ρ,θ之间的关系.我们可以通过直角三角形来解决，因为已知OA的长度，还知∠AOx=.(2)在三角形中利用正弦定理来找到变量ρ、θ之间的关系.解：(1)如图所示

6、,在直线l上任意取点M(ρ,θ)，∵A(2,)，且AM∥l,∴

7、MH

8、=2·sin=2.在Rt△OMH中,

9、MH

10、=

11、OM

12、sinθ,即ρsinθ=,∴过A(2,)且平行于极轴的直线方程为ρsinθ=.(2)如图所示,∵A(3,)，∴

13、OA

14、=3,∠AOB=，由已知∠MBx=，∴∠OAB=-=.∴∠OAM=π-=.又∠OMA=∠MBx-θ=-θ，在△MOA中，根据正弦定理，得.∵sin=sin(+)=，将sin(-θ)展开，化简上面的方程，可得ρ(sinθ+cosθ)=.∴过A(3,)且和极轴成

15、的直线为ρ(sinθ+cosθ)=.绿色通道在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简.变式训练1.从极点O作圆C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.思路分析：在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.解：如右图，圆C的圆心C(4,0)，半径r=

16、OC

17、=4，连结CM.∵M为弦ON的中点，∴CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上.∴动点M的轨迹方程是ρ=4c

18、osθ.【例题2】写出圆心在点（-1，1），且过原点的圆的直角坐标方程，并把它化为极坐标方程.思路分析：首先利用直角坐标系求得圆的方程，再利用直角坐标与极坐标的转化公式化为极坐标方程.解：如图，圆的半径R==，圆的方程为（x+1)2+(y-1)2=2,变形为x2+y2=-2(x-y).用坐标变换公式，得ρ2=-2(ρcosθ-ρsinθ),即ρ=2(sinθ-cosθ).绿色通道先求出直角坐标方程，再转化为极坐标方程也是求极坐标方程的一种方法.变式训练2.在抛物线ρ=上有一点M，它的极径等于点M