高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义学案苏教版选修2

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1、2.5 圆锥曲线的统一定义1.了解圆锥曲线的统一定义,掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.(重点)2.理解并会运用圆锥曲线的共同性质,解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.(难点)[基础·初探]教材整理 圆锥曲线的统一定义阅读教材P56“思考”以上的部分,完成下列问题.1.平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当01时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的

2、准线.2.椭圆+=1(a>b>0)的准线方程为x=±,+=1(a>b>0)的准线方程为y=±.双曲线-=1(a>0,b>0)的准线方程为x=±,双曲线-=1(a>0,b>0)的准线方程为y=±.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离的比等于2的点的轨迹是双曲线.(  )(2)椭圆+y2=1的准线方程是x=±.(  )(3)双曲线离心率的取值范围是(1,+∞).(  )(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直.(  )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.双

3、曲线-y2=1的准线方程为________.【解析】 易知a2=15,b2=1,∴c2=a2+b2=16,即c=4,则双曲线的准线方程为x=±.【答案】 x=±3.焦点坐标为F1(-2,0),F2(2,0),则准线方程为x=±的椭圆的标准方程为______.【导学号:09390050】【解析】 由题意知c=2,则==,故a2=5,所以b2=a2-c2=1,则椭圆的方程为+y2=1.【答案】 +y2=14.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,右准线为x=,则右焦点的坐标为________.【解析】 据题意知

4、解得a=1,c=2,则右焦点的坐标为(2,0).【答案】 (2,0)[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型]已知焦点和准线求圆锥曲线的方程 已知某圆锥曲线的准线是x=1,在离心率分别取下列各值时,求圆锥曲线的标准方程:(1)e=;(2)e=1;(3)e=.【精彩点拨】 【自主解答】 (1)离心率决定了它是椭圆,准线方程决定了它的焦点在x轴上,由=1,=,解得c=,a=,b2=,所求方程为+=1.(2)离心率决定了它是

5、抛物线,准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上,=1,可得y2=-4x.(3)离心率决定了它是双曲线,准线方程决定了它的焦点在x轴上,=1,=,解得c=,a=,b2=.所求方程为-=1.1.本例中,由于要求的是圆锥曲线的“标准”方程,其准线有固定公式,因而可直接列出基本量满足的关系式.2.已知焦点、准线及离心率,也可直接由=e求出M点的轨迹方程.[再练一题]1.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且

6、AM

7、=,

8、AF

9、=3,求此抛物线的标准方程.【解】 设所求抛物线的标

10、准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题知M.∵

11、AF

12、=3,∴y0+=3,∵

13、AM

14、=,∴x+2=17,∴x=8,代入方程x=2py0得,8=2p,解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.用圆锥曲线的统一定义求轨迹 已知动点P(x,y)到点A(0,3)与到定直线y=9的距离之比为,求动点P的轨迹.【精彩点拨】 此题解法有两种:一是定义法,二是直译法.【自主解答】 法一:由圆锥曲线的统一定义知,P点的轨迹是椭圆,c=3,=9,则a2=27,a=3,∴e==,与已知条件相

15、符.∴椭圆中心在原点,焦点为(0,±3),准线y=±9.b2=18,其方程为+=1.法二:由题意得=.整理得+=1.P点的轨迹是以(0,±3)为焦点,以y=±9为准线的椭圆.解决此类题目有两种方法:(1)是直接列方程,代入后化简整理即得方程.(2)是根据定义判断轨迹是什么曲线,然后确定其几何性质,从而得出方程.[再练一题]2.方程=

16、x+y-1

17、对应点P(x,y)的轨迹为________.【导学号:09390051】【解析】 由=

18、x+y-1

19、,得=.可看作动点P(x,y)到定点(-1,0)的距离与到定直线x+y

20、-1=0的距离比为>1的轨迹方程,由圆锥曲线统一定义可知,轨迹为双曲线.【答案】 双曲线圆锥曲线统一定义的应用 已知A(4,0),B(2,2)是椭圆+=1内的两个点,M是椭圆上的动点.(1)求MA+MB的最大值和最小值;(2)求MB+MA的最小值及此时点M的坐标.【精彩点拨】 (1)利用椭圆的定义进行转化求解.(2)注意e=,则MA==d(d为点M到右准线的距离),然后利

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