高中数学第2讲参数方程章末分层突破学案新人教a版选修4

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1、参数方程章末分层突破参数方程—[自我校对]①圆的参数方程②圆锥曲线的参数方程③直线的参数方程　　圆锥曲线的参数方程及应用对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．　在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值．【规范解答】　∵椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)．故设动点P(cosφ，sinφ)，其中φ∈[0,2π)．因此S＝x＋y＝cosφ＋sinφ

2、＝2＝2sin，∴当φ＝时，S取得最大值2；当φ＝时，S取得最小值－2.[再练一题]1．一直线经过P(1,1)点，倾斜角为α，它与椭圆＋y2＝1相交于P1、P2两点．当α取何值时，

3、PP1

4、·

5、PP2

6、有最值，并求出最值．【解】　设直线方程为(t为参数)，代入椭圆方程得(cos2α＋4sin2α)t2＋(2cosα＋8sinα)t＋1＝0.∵Δ＝(2cosα＋8sinα)2－4(cos2α＋4sin2α)＞0，∴tanα＜－，或tanα＞0.

7、PP1

8、·

9、PP2

10、＝t1·t2＝，＝＝＝＋，tan2α→＋∞时，(

11、PP1

12、·

13、PP2

14、)min＝，此时α＝，

15、PP1

16、·

17、

18、PP2

19、无最大值.直线的参数方程及应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．　直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为(t为参数)与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点，(1)求弦长

20、AB

21、；(2)过P0作圆的切线，求切线长．【规范解答】　将直线l的参数方程代入圆的方程，得＋＝7，整理得t2－4t＋9＝0.(1)设A和B两点对应的参数分别

22、为t1和t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1·t2＝9.故

23、AB

24、＝

25、t2－t1

26、＝＝2.(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则

27、P0T

28、2＝

29、P0A

30、·

31、P0B

32、＝

33、t1t2

34、＝9，∴切线长

35、P0T

36、＝3.[再练一题]2．已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值.【导学号：91060030】【解】　因为实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，所以点(x，y)可视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，于是可利用圆的参数方程来求解．设(θ为参数)，则x2＋y2＝(1＋3cosθ)2＋(1＋3sinθ)2＝1

37、1＋6(sinθ＋cosθ)＝11＋6sin.因为－1≤sin≤1，所以11－6≤x2＋y2≤11＋6，所以x2＋y2的最大值为11＋6，最小值为11－6.参数法及应用参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围．　如图21，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：图21(1)P、M两点间的距离

38、PM

39、；(2)线段AB的

40、长

41、AB

42、.【规范解答】　(1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线的倾斜角为α，tanα＝，sinα＝，cosα＝，∴直线l的参数方程为(t为参数)．∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0.设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝，t1t2＝－，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得

43、PM

44、＝＝.(2)

45、AB

46、＝

47、t2－t1

48、＝＝，因此线段AB的长为.[再练一题]3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，

49、且0≤θ<2π)，点M是曲线C1上的动点．(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．【解】　(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cosθ，4sinθ)，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝(0＋4cosθ)＝2cosθ，y＝(0＋4sinθ)＝2sinθ，所以点P的坐标为(2cosθ，2sinθ)，因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P轨迹的直