高中数学第3章导数及其应用3导数在研究函数中的应用学案苏教版选修1

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1、3.3.1　单调性1.了解函数的单调性与导数的关系.2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法，会求函数的单调区间.(重点、难点)[基础·初探]教材整理　函数的单调性阅读教材P86思考以上部分，完成下列问题.1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0增函数f′(x)<0减函数2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)1.

2、判断正误：(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.(　　)(2)f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)一定大于零.(　　)(3)若f(x)＝(x≠0)，则f′(x)＝－＜0，所以f(x)是单调减函数.(　　)【解析】　(1)×.反例：f(x)＝－，f′(x)＝＞0，但f(x)在其定义域上不是增函数.(2)×.反例：f(x)＝x3在(－1,1)上是增函数，但f′(0)＝0.(3)×.f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在其定义域上不是减函数.【答案】　(1)×　(2

3、)×　(3)×2.函数y＝x2(x－1)的单调增区间为________.【解析】　y′＝2x(x－1)＋x2＝3x2－2x，令y′≥0，得3x2－2x≥0，x(3x－2)≥0，∴x≥或x≤0，∴函数增区间为(－∞，0]和.【答案】　(－∞，0]和[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：_______________________________________________

4、_________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]函数与其导函数图象之间的关系

5、　(1)如图331，设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是________(填序号).图331(2)已知函数y＝xf′(x)的图象如图332(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是________(填序号).图332【精彩点拨】　(1)通过对各个选项中图象的变化判断是否符合题目的条件.(2)根据y＝xf′(x)函数图象中所反映的f′(x)的符号，确定y＝f(x)的单调区间，确定y＝f(x)的图象.【自主解答】　(1)①，②

6、，③均有可能；对于④，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合.(2)由题图知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，∴当x＜－1时，函数y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，∴当－1＜x＜0时，函数y＝f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，∴当0＜x＜1时，函数y＝f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，∴当x＞1时，y＝f(x)单调递增.综上可知，③是y＝f(x

7、)的大致图象.【答案】　(1)④　(2)③1.利用原函数图象可以判断导函数的正负，原函数的单调增区间即为f′(x)≥0的区间，原函数的减区间就是导函数f′(x)≤0的区间.2.利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间，导函数在x轴上方的区间就是原函数的增区间，导函数在x轴下方的区间就是原函数的减区间.[再练一题]1.f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图333所示，则f(x)的图象可能是________(填序号).【导学号：24830079】图333【解析】　由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(

8、x)在此区间为增函数；当0＜x＜x1时，f′(x)＜0，即函数f(x)在此区间为减函数；当x＞x1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在此区间为增函数.观察选项易知③正确.【答案】　③求函数的单调区间　求下列各函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3－