资源描述：
《高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式互动课堂学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.1两角差的余弦公式互动课堂疏导引导1.两角差的余弦公式下面我们从两方面对两角差的余弦公式进行证明.(1)利用单位圆上的三角函数线探究如图3-1-1甲,设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β.过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是α-β的余弦线.这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B.过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么OA表示cosβ,AP表示sinβ,并且∠PAC=∠P1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+AP
2、sinα=cosβ·cosα+sinβ·sinα.以上结果虽然是在α、β、α-β都是锐角的情况下推导出来的,但是可以推广到对任意角α、β都成立(如图3-1-1乙).甲乙图3-1-1(2)运用向量的知识进行探究图3-1-2如图3-1-2,设α、β的终边分别与单位圆交于点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ),由于余弦函数是周期为2π的偶函数,所以我们只考虑0≤α-β＜π的情况.设向量a==(cosα,sinα),b==(cosβ,sinβ),则a·b=
3、a
4、
5、b
6、·cos(α-β)=cos(α-β).另一方面,由向量数量积的坐标表示,有a·b=
7、cosαcosβ+sinαsinβ,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(Cα-β)于是,对于任意的α、β,都有上述式子成立.2.对两角差的余弦公式的理解与记忆(1)上述公式中的α、β都是任意角.(2)公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反.(3)要注意差角的相对性,掌握角的变化技巧.如α=(α+β)-β,α=(α-β)+β.活学巧用1.利用两角差的余弦公式证明:(1)cos(π-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.证明:(1)cos(π-α)=cosπcosα+sinπsinα=-cosα+0·
8、sinα=-cosα.(2)cos(-α)=coscosα+sinsinα=0·cosα-sinα=-sinα.2.已知sinα=,cosβ=,α、β均为第二象限角,求cos(α-β).解析:由sinα=,α为第二象限角,∴cosα=.又由cosβ=-,β为第二象限角,∴sinβ=.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-)×()+×=.3.已知tanα=-,π＜α＜2π,求cos(-α).解析:由tanα=-＜0,π＜α＜2π,∴＜α＜2π.由1+tan2α=,得cos2α=.∵＜α＜2π,∴cosα=.由sinα=,∴cos(-α)=
9、coscosα+sinsinα=×+×()=.4.已知＜β＜α＜,cos(α-β)=,sin(α+β)=,求cos2β.解析:∵＜β＜α＜,∴0＜α-β＜,π＜α+β＜.∴sin(α-β)=,cos(α+β)=,cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-×+()×=-.
