高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式学案新人教b版必修4

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1、3.2.1　倍角公式基础知识基本能力1．理解二倍角公式的推导过程，并了解倍角公式之间以及它们与和角公式之间的内在联系．(难点)2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形．(重点、易错点)1．能运用倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明．(重点)2．对于倍角公式不仅要会正用，还要会逆用及变形用，尤其是cos2α＝，sin2α＝作为降幂公式，更要会熟练应用．(难点、易错点)倍角公式记法公式推导S2αsin2α＝2sin_αcos_αSα＋βS2αC2αcos2α＝cos2α－sin2αCα＋βC2

2、αcos2α＝2cos2α－1，cos2α＝1－2sin2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αT2αtan2α＝Tα＋βT2α名师点拨(1)T2α只有当α≠kπ＋(k∈Z)及α≠＋(k∈Z)时才成立．(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是α的二倍角，3α是α的倍角．一般地，(2nm)α是(2n－1m)α的二倍角(n∈Z)，于是二倍角公式可对应变形为：sin(2nmα)＝2sin(2n－1mα)cos(2n－1mα)；cos(2nmα)

3、＝cos2(2n－1mα)－sin2(2n－1mα)；tan(2nmα)＝.【自主测试1】已知tanα＝2，则tan2α等于(　　)A．4B．C．－D．答案：C【自主测试2】(2012·广东珠海质检)函数f(x)＝sinxcosx是(　　)A．周期为2π的偶函数B．周期为2π的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为π的奇函数答案：D【自主测试3】已知sinα＝，则cos(π－2α)＝(　　)A．－B．－C．D．解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.答案：B关于升降幂公式的解读

4、剖析：口诀如下：(1)1加余弦想余弦；(2)1减余弦想正弦；(3)幂升一次角减半；(4)幂降一次角翻番．图表如下：归纳总结(1)对于公式sin2α＝2sinαcosα，有①cosα＝，②sinα＝；(2)对于(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα，有(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α，同理有(sinα－cosα)2＝1－sin2α；(3)对于公式tan2α＝，有－tanα＝＝；(4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底

5、角的三角函数值逆用倍角公式．题型一化简、求值问题【例题1】求值：sin50°(1＋tan10°)．分析：应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分”技巧求解．解：原式＝sin50°＝sin50°×＝sin50°×＝＝＝＝＝1.反思问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底．题型二给值求值问题【例题2】若sin＝，则cos等于(　　)A．－B．－C．D．解析：观察发现＋2α＝2，而＋＝，则cos＝sin，所以cos＝2

6、cos2－1＝2sin2－1＝－.答案：A反思通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累．题型三给值求角问题【例题3】已知tanα＝，tanβ＝－且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：→→→→解：∵tanα＝＞0，∴α∈，2α∈(0，π)，∴tan2α＝＝＝＞0，∴2α∈.又∵tanβ＝－＜0，β∈(0，π)，∴β∈，∴tan(2α－β)＝＝＝1.又∵2α∈，β∈，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－.反

7、思在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步．题型四恒等式的证明【例题4】已知tan(α＋β)＝3tanα.求证：2sin2β－sin2α＝sin(2α＋2β)．分析：解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答．证明：tan(α＋β)＝3tanα，可变为sin(α＋β)cosα＝3sinαcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cosα－sinαcos(α＋β)＝2sinαcos(α＋β)⇒sin[(α＋β)－α]＝2sinα(cosα

8、cosβ－sinαsinβ)⇒sinβ＝2sinαcosαcosβ－2sin2αsinβ⇒(1＋2sin2α)sinβ＝sin2αcosβ.当cosβ＝0时，上式中因为1＋2sin2α≠0，所以sinβ＝0，矛盾．所以cosβ≠0，上式两边同乘以2cosβ，得(1＋2sin2α)sin2β＝sin2α2cos2β⇒sin2β＋(1－cos2α)sin2β＝sin2α(1＋cos2β)⇒2sin2β－