资源描述：
《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1_3.2.2课堂探究学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课堂探究探究一利用向量方法判定线、面的位置关系解答这类问题的关键：一是要清楚直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法．【典型例题1】(1)设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．(2)设u，v分别是两个不重合的平面α，β的法向量，判断α，β的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝；②u＝(0,3,0
2、)，v＝(0，－5,0)．(3)设u是α的法向量，a是直线l的方向向量，判断α，l的位置关系：①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．解：(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝，∴u·v＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝
3、0，∴u⊥a，∴l∥α或lα.②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.探究二平面法向量的求法求平面的法向量，一般采用待定系数法求解，关键是在平面内找到两个不共线向量，列出方程组，取其中一个非零向量的解即可．【典型例题2】已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．思路分析：设平面ABC的一个法向量为n，则n垂直于平面ABC内的任意向量，不妨取，，然后将向量垂直转化为数量积为0，求得n.解：设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．因为n⊥
4、，n⊥，所以令x＝1，得y＝z＝1，所以平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．归纳求法向量的步骤为：(1)设法向量n＝(x，y，z)；(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；(3)建立方程组(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的法向量．探究三利用向量法证明空间中的平行关系用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行：(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平
5、面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．(3)关于直线与平面平行、平面与平面平行的证明，还可以利用直线方向向量与平面法向量垂直来证明线面平行，用两平面的法向量平行来证明两平面平行．【典型例题3】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.思路分析：证明线面平行有三种方法：一是线面平行的判定定理，二是直线的方向向量与平面的法向量垂直，三是共面向量定理．证法一：∵＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD.证法二：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
6、系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是M＝，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，则n·＝0，且n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n，∴MN∥平面A1BD.证法三：∵＝－＝－＝(＋)－(＋)＝＋－－＝＋＋(－)＝＋＋＝＋0·D.即可以用与线性表示，∴与，是共面向量，∴∥平面A1BD，即MN∥平面A1BD.探究四向量法证明垂直关系证两直线垂直可转化为证两直线的方向向量垂直．(1)把两直线的方向向量用相同的几个向量表示出来，然后证明向量的
7、数量积等于0即可，这是用向量证明线线垂直的基本方法．(2)可建立适当的坐标系，并正确求出各点及相关向量的坐标，再证明两个向量的数量积为0.向量法证明线面垂直，则是通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明．而证两平面垂直则是通过证明两平面的法向量垂直来完成．【典型例题4】如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.思路分析：(1)建立空间直角坐标系→确定，的坐标→计算·→AE⊥CD；(
