高中数学第二章函数概念与基本初等函数i2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性1学案苏教版必修1

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1、2．2．1函数的单调性第1课时函数的单调性1．理解函数单调性，能用定义来证明某一函数在确定区间上的单调性．2．了解一次函数、二次函数和反比例函数的单调性的判断方法．1．增函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA．如果对于区间I内任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的单调增区间．2【做一做1】函数y＝(k＋1)x＋3是__________函数．(填“增”或“减”)答案：增2．减函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA．如果对于区

2、间I内任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．2【做一做2】函数y＝－x－4x＋5在(3，＋∞)上是__________函数．(填“增”或“减”)答案：减3．单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．(1)对于单独的一点，由于其函数值是惟一的，因而无增减变化，所以不存在单调性问题，因此，在考虑函数单调区间时，若端点处有意义，包括不包括端点

3、均可．(2)有的函数在整个定义域内具有单调性，有的函数在定义域的某个子集上具有单调性，有的函数没有单调区间．3【做一做3－1】函数y＝的单调减区间是__________．x答案：(－∞，0)和(0，＋∞)2【做一做3－2】函数y＝x－2x－3的单调增区间是______．答案：(1，＋∞)要正确理解单调性的定义，应该抓住哪几个重要字眼？剖析：(1)第一关键——“定义域内”．研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先原则．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集．(2)第二关键——“某个区间”．增函数和减函

4、数都是对相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的单调性．我们不能说一个函数在x＝5时是递增的或递减的，因为这时没有一种可比性，没突出变化．所2以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数．比如二次函数y＝x，在y2轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能单一地说y＝x是增函数或是减函数，必须加上区间进行区别．当然，有些函数在其整个定义域内单调性一致，如y＝x，我们会说y＝x在定义域内是增函数．此时，“在定义域内”常被忽略，这就是说法上的一种错误了．(3)“任意”和“都有”别忽略．在定义中，“任意”两个字很重要，它

5、是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1＜x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)．2对“任意”二字不能忽视，我们可以构造一个反例：考查函数y＝x，在区间［－2,2］上，如果取两个特定的值x1＝－2，x2＝1，显然x1＜x2，而f(x1)＝4，f(x2)＝1，有f(x1)＞2f(x2)，若由此判定y＝x在［－2,2］上是减函数，那就错了．2同样地，理解“都有”，我们也可以举例说明：y＝x在［－2,2］上，当x1＝－2，x2＝－1时，有f(x1)＞f(x2)；当x1＝1，x2＝2时，有f(

6、x1)＜f(x2)．从上例我们可以看到对2于x1＜x2，f(x1)并没始终小于(或者大于)f(x2)．因此就不能说y＝x在［－2,2］上是增函数或减函数．题型一函数单调性的证明1【例1】已知函数f(x)＝x＋，x(1)画出函数的图象，并求其单调区间；(2)用定义证明函数在(0,1)上是减函数．分析：运用描点法作图应避免描点的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所画图的存在范围、大致特征、变化趋势等先作一个大概的研究．单调区间一般是函数定义域的子集，同一个函数在定义域内可以有几个不同的单调增(或减)区

7、间，函数的两个单调区间之间可以用“，”或“和”字连接，而不能用符号“∪”连接．“定义作差法”是证明函数单调性的一般方法，而有时通过定义作差法也可以直接找出单调区间．(1)解：列表如下：11x－3－2－1－12322110555510y＝x＋－－－2－2x322223描点，并连线，可得图象如下图：由图象可知，增区间：(－∞，－1］，［1，＋∞)，减区间：［－1,0)，(0,1］．(2)证明：设x1，x2是区间(0,1)内的任意的两个值，且x1＜x2．∴0＜x1＜x2＜1．则f(x1)11x2－x11－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)

8、＋＝(x1－x2)(1)，x1x2x1x2x1x2∵0＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,0＜x1x2＜1．11∴＞1．∴1－＜0．x1x2x1x2∴f(x1)－f(x2)＞0