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《高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4向量数乘课堂导学案新人教b版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.4向量数乘课堂导学三点剖析一、向量数乘的概念及几何意义1.对向量数乘定义的理解注意:①λa中的实数,叫做向量a的系数.②关于对向量数乘λa的理解:我们可以把向量a的长度扩大(当
2、λ
3、>1)时,也可以缩小(当
4、λ
5、<1时),同时可以不改变向量a的方向(当λ>0时),也可以改变向量a的方向(当λ<0时).③向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa=0,而λ≠0,若a=0,也有λa=0.④实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a就无法运算.2.向量数乘的几何意义向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小
6、.【例1】已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;(3)-2a与2a是一对相反向量;(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.思路分析:利用λa中λ的作用.解：(1)真命题.∵2>0,∴2a与a同向,且
7、2a
8、=2
9、a
10、.(2)真命题.∵5>0,∴5a与a同向,且
11、5a
12、=5
13、a
14、.-2<0,∴-2a与a反向,且
15、-2a
16、=2
17、a
18、.∴-2a与5a反向,且
19、-2a
20、
21、=
22、5a
23、.(3)真命题.(4)假命题.-(b-a)=-b+a=a-b.(5)假命题.∵0a=0,0与任一向量共线.温馨提示对数乘运算的理解,关键是对数的作用的认识,λ>0时,λa与a同向,模是
24、a
25、的λ倍;λ<0时,λa与a反向,模是
26、a
27、的-λ倍;λ=0时,λa=0.各个击破类题演练1如图(1),已知非零向量a,求作向量2a,a,-3a,a.思路分析:据向量数乘的定义作出图形即可.作法:将向量a依次同向伸长到原来的2倍,同向缩短到原来的倍,反向伸长到原来的3倍,反向缩短到原来的倍,得到图(2).变式提升1已知点C在线段AB的延长线上,
28、且.(1)用表示;(2)用表示.思路分析:本例已知中没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一的长度要素向长度,方向双重要素的过渡.解:如图①,由已知,点C在线段AB的延长线上,且,∴,解得AB=3BC.同理,可得AC=4CB.(1)如图②,向量与的方向相同,所以=3.(2)如图③,向量与的方向相反,所以=-4.温馨提示确定向量,有两个方面的要求,一是指出向量的方向;二是指出向量的大小.二、向量数乘的运算律及应用设λ,μ为实数,则(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)
29、=λa+λb(分配律).【例2】设x,y为未知向量.(1)解方程5(x+a)+3(x-b)=0;(2)解方程组解：(1)原方程可化为5x+5a+3x-3b=0,∴8x+5a-3b=0.∴8x=3b-5a.∴x=b-a.(2)①×2-②得(x-2y)-(x-y)=2a-b,∴y=2a-b.∴y=b-a.代入①得x=a+b-a,∴x=2a+b-a=b-a.类题演练2化简下列各式:(1)［(2a+8b)-(4a-2b)］;(2)［(4a-3b)+b-(6a-7b)］.解:(1)原式=(a+4b-4a+2b)=［(1-4)a+(4+2)b］=(-3
30、a+6b)=2b-a；(2)原式=(4a-3b+b-a+b)=［(4-)a+(-3++)b］=(a-b)=a-b.温馨提示(1)实数与向量积的运算问题,必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算.(2)实数与向量的积的运算,可对照实数与单项式的运算进行.变式提升2将［2(2a+8b)-4(4a-2b)］化简成最简式为()A.2a-bB.2b-aC.a-bD.b-a思路分析:这是关于实数与向量的积的有关运算问题,只需按照实数和向量的积所满足的运算律进行运算即可.解:原式=(4a+16b-16a+8b)=［(4-16)a+(16+8)b］=-
31、a+2b=2b-a.∴应选B.答案:B三、向量的线性运算向量的加法,减法和实数与向量积的综合运算,通常叫做向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的,我们说这个向量c可以用另一些向量线性表示,如2a,-3a,-a都是a的线性表示,2a+3b,-3a+5b,a-b等都可以由a,b线性表示.【例3】梯形ABCD(如图)中,AB∥CD且AB=2CD,M、N分别是DC与AB的中点.若=a,=b,试用a,b表示和.解法一:连结CN,N为AB中点.∵AN∥DC,AN=DC,∴ANCD为平行四边形.有=-b.又∵=0,∴==
32、b-a.∴==+=a-b.解法二:梯形ABCD中,有+=0,即a++(-a)+(-b)=0.可得=b-a.在四边形ADMN中,=0,即b+a++(-a)=0.∴=a-b.温馨提示
