高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.4平面向量共线的坐标表示知识巧解学案新人教a版必修4

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1、2.3.4平面向量共线的坐标表示疱工巧解牛知识•巧学一、用坐标表示两个共线向量向量a与非零向量b共线，当且仅当存在一个实数λ，使得a=λb.这样可由向量相等，构造出向量坐标相等的关系式.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x2，y2不同时为零).根据实数与向量的积的坐标可得λb=(λx2，λy2).因为a=λb，即(x1，y1)=(λx2，λy2)，则必有消去λ后，得x1y2-x2y1=0.这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量b与a(a≠0)共线.若x2、y2都不为零时，则可化为.即若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行，也可依此判断a与b共线.由此

2、可知，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若a∥b，则x1y2-x2y1=0；反之，若x1y2-x2y1=0，则a∥b.该条件成立，是在假设b≠0的情况下推出的，事实上，由于我们规定零向量与任何向量平行，所以可去掉b≠0这一限制条件.学法一得向量共线有两种刻画形式：(1)b∥a(a≠0)b=λa，λ是唯一确定的实数；(2)b∥a(a≠0)x1y2-x2y1=0.典题•热题知识点一利用坐标解决向量共线例1判断下列向量是否平行：(1)a=(1，3)，b=(2,4)；(2)a=(1,2)，b=(,1).解：(1)∵1×4-3×2=-2≠0,∴a与b不平行.(2)∵1×1

3、-2×=0,∴a∥b.巧解提示:(1)∵≠,a与b不平行；(2)∵,∴a∥b.本方法适合于作分母的向量坐标不是零的情况.知识点二利用两个向量共线求未知数例2已知向量a=(1，1)，b=(4，x)，μ=a+2b，v=2a+b且μ∥v，求x.思路分析：由于平面向量可用坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积都可先用坐标表示出来，再转化为坐标运算去求值.解：μ=(1，1)+2(4，x)=(1，1)+(8，2x)=(9，1+2x)，v=2(1，1)+(4，x)=(2，2)+(4，x)=(6，2+x).∵μ∥v，∴9(2+x)-6(1+2x)=0.解得x=4.例3求与向量a

4、=(3，4)共线的单位向量.解：设与a共线的单位向量为e=(x，y)，则x2+y2=1.①又e∥a，所以3y-4x=0.②解由①②组成的方程组得或即e=()或().巧解提示:∵a=(3，4)，∴

5、a

6、=.∴与a共线的单位向量e=a，或e=a，即e=()或().方法归纳利用两个向量共线的条件去布列方程，求未知数的值.由x1y2-x2y1=0可解决一个未知数的值；若由可解决两个未知数的值.例4平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).(1)求3a+b-2c；(2)求满足a=mb+nc的实数m、n；(3)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(4)

7、设d=(x，y)满足(d-c)∥(a+b)且

8、d-c

9、=1，求d.思路分析：在引入向量的坐标表示后，向量的加、减、数乘运算完全代数化，这样更简洁，但必须对平面向量基本定理、向量的有关概念有深刻的理解.解：(1)3a+b-2c=3(3，2)+(-1，2)-2(4，1)=(9，6)+(-1，2)-(8，2)=(9-1-8，6+2-2)=(0，6).(2)∵a=mb+nc，∴(3，2)=m(-1，2)+n(4，1)=(-m+4n，2m+n).∴解之,得(3)∵(a+kc)∥(2b-a)，又a+kc=(3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)，∴2×(3+4k)-(-5)×(

10、2+k)=0.∴k=.(4)∵d-c=(x-4，y-1)，a+b=(2，4)，又(d-c)∥(a+b)且

11、d-c

12、=1，∴解之,得或∴d=()或d=().方法归纳求未知数的值，需列含有未知数的方程或方程组，这就是方程思想.由于平面向量的坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积、共线向量、向量的模等，都可用于列方程求未知数的值.知识点三向量平行与三点共线例5向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线?解：=-=(k，12)-(4，5)=(k-4，7)，=-=(k，12)-(10，k)=(k-10，12-k).∵A、B、C三点共

13、线，∴∥，即(k-4)(12-k)-(k-10)×7=0.整理，得k2-9k-22=0.解得k1=-2或k2=11.所以当k=-2或11时，A、B、C三点共线.例6如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.思路分析：只需根据向量共线的条件，解关于m的方程即可.解：∵A、B、C三点共线，即、共线，∴存在实数λ使得=λ，即i-2j=λ(i+mj).∴∴m=-2，即m=-2时，A、B、C三点共线.方法归纳利用向量证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定