高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案含解析新人教a版选修2

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1、2.2.2 反证法[学习目标]1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.[知识链接]1.有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题,这种说法对吗?为什么?答 这种说法是错误的,反证法是先否定命题,然后再证明命题的否定是错误的,从而肯定原命题正确,不是通过逆否命题证题.命题的否定与原命题是对立的,原命题正确,其命题的否定一定不对.2.反证法主要适用于什么情形?答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明

2、,只要研究一种或很少的几种情形.[预习导引]1.反证法定义假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题例1 已知x,y>0,且x+y>2.求证:,中至少有一个小于2.证明 假设,都不小于2,即≥2,≥2.∵x,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x.∴2+x+y≥2(x+y),即x+y≤2与已知x+

3、y>2矛盾.∴,中至少有一个小于2.规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法,对于此类问题,需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义,弄清结论的否定是什么,避免出现证明遗漏的错误.跟踪演练1 已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.证明 假设a,b,c,d都是非负数,∵a+b=c+d=1,∴(a+b)(c+d)=1.又∵(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,∴ac+bd≤1.这与已知ac+bd>1矛盾,∴a,b,c,d中至少有一个是负数

4、.要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题例2 求证对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称.证明 假设存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax垂直;(2)点A、B在直线l:y=kx+1上;(3)线段AB的中点在直线y=ax上,所以由得(3-k2)x2-2kx-2=0.④当k2=3时,l与双曲线仅有一个交点,不合题意.由②、③得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2⑤由④知x1

5、+x2=,代入⑤整理得:ak=3,这与①矛盾.所以假设不成立,故不存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称.规律方法 证明“唯一性”问题的方法:“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证法往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证法,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便.跟踪演练2 求证方程2x=3有且只有一个根.证明 ∵2x=3,∴x=log23,这说明方程2x=3有根.下面用反证法证明方程2x=

6、3的根是唯一的:假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1≠b2),则2b1=3,2b2=3,两式相除得2b1-b2=1.若b1-b2>0,则2b1-b2>1,这与2b1-b2=1相矛盾.若b1-b2<0,则2b1-b2<1,这也与2b1-b2=1相矛盾.∴b1-b2=0,则b1=b2.∴假设不成立,从而原命题得证.要点三 用反证法证明否定性命题例3 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(

7、1)解 设公差为d,由已知得∴d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+).(2)证明 由(1)得bn==n+.假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列,则b=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+),∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.∵p,q,r∈N*,∴∴2=pr,(p-r)2=0,∴p=r,这与p≠r矛盾.所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适于应用反证法.例如证明异面直线,

8、可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的

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