高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程学案新人教a版选修4

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1、二　圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程，了解参数的意义，会用椭圆的参数方程解决简单问题．2．理解双曲线的参数方程，了解参数的意义，会用双曲线的参数方程解决简单问题．3．理解抛物线的参数方程，了解参数的意义，会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题．4．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．1．椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为________．(1)圆的参数方程：(θ为参数)中的参数θ

2、是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．(2)通常规定φ∈[0,2π)．(3)当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形式．如＋＝1(a＞b＞0)可表示为(φ为参数)．【做一做1－1】椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π)，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为(　　)．A．πB.C．2πD.【做一做1－2】A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运

3、动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程．2．双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程是__________规定参数φ的取值范围为__________．【做一做2】参数方程(α为参数)的普通方程是(　　)．A．y2－x2＝1B．x2－y2＝1C．y2－x2＝1(

4、x

5、≤)D．x2－y2＝1(

6、x

7、≤)3．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px的参数方程为____________．(2)参数t的几何意义是________________．答案：1.(a＞b＞0)　[0,2π)【做一做1

8、－1】　A【做一做1－2】　解：由于动点C在该椭圆上运动，所以可设点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)．由重心坐标公式可知由此可得＋(y－1)2＝1即为所求．2.　φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠【做一做2】　C　因为x2＝1＋sinα，所以sinα＝x2－1.又因为y2＝2＋sinα＝2＋(x2－1)，所以y2－x2＝1.而x＝sin＋cos＝sin(＋)，故x∈[－，]．3．(1)t∈(－∞，＋∞)(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线

9、的斜率的倒数1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令椭圆＋＝1可以变成圆x′2＋y′2＝1，利用圆x′2＋y′2＝1的参数方程(φ是参数)，可以得到椭圆＋＝1的参数方程(φ是参数)，因此，参数φ的几何意义是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．2．圆锥曲线的参数方程不是惟一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不惟一的．例如，椭圆＋＝1的参数方程可以是的形式，也可以是的形式，二者只是形式上不同而已，实质上都是表示

10、同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也不同．题型一求圆锥曲线的参数方程【例1】椭圆中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是2，求椭圆的参数方程．分析：可先根据题目条件求出椭圆的普通方程，然后化为参数方程．反思：求参数方程的关键是选准参数，有时可选的参数并不惟一，这时要选择一个恰当的．另外求参数方程比较困难时，也可以先求出它的普通方程，再化为参数方程．题型二圆锥曲线普通方程与参数方程的互化【例2】参数方程(θ为参数

11、)表示什么曲线？分析：消去参数，化为普通方程再判断．反思：有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型，这时只需先把它化为普通方程再作研究即可．题型三圆锥曲线参数方程的应用【例3】设M为抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P为线段M0M的中点，求点P的轨迹方程．分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解题方法．题型四易错辨析【例4】已知P为椭圆＋＝1上一点，且∠POx＝，求点P的坐标．错解：设点P的坐标为(x，y)，如图所示，由椭圆的参数方程得即P的坐标为(2,3)．答案：【例1

12、】　解：由题意，设椭圆的方程为＋＝1，则a＝3，c＝，∴b＝2，∴椭圆的普通方程为＋＝1，化为参数方程得(φ为参数)．【例2】　解：∵x＝cosθ·sinθ＋cos2θ＝，∴x－＝.∵y＝sin2θ＋sinθcosθ＝，∴y－＝.∴(x－)2＋(y－)2＝＝.∴原参数方程表示的曲线是圆心为(，)，半径为的圆．【例3】　解：令y＝2t，则x＝＝2t2，得抛物线的参数方程为(t为参数)，则设动点M(2t2,2t)，定