云南省高考数学二轮专题复习 排列、组合与概率

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1、高三数学二轮复习专题：排列、组合与概率“排列、组合和二项式定理”在高考题中多以客观题的形式出现，考查其基本知识的应用，逻辑划分、转化等思想方法，难度不大。“概率”是每年高考新课程卷的必考内容，客观题、主观题均能出现，主要考查等可能事件的概率、互斥事件的概率、对立事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验，难度多为中档或中档偏上。特别指出，近几年高考中考查概率常与离散型随机变量的分布列、期望、方差相结合，复习时不可小视。专题热点：（1）分类计数原理与分步计数原理的灵活应用。（2）排列、组合数的计算及排列、组合的综合应用。（3）利用二项式定理解决展开式指定项或系数问题，利用二项式定理解决近似

2、估值问题。（4）等可能事件的概率公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率乘法公式、事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算公式的独立应用，或几个方面相结合的综合问题。（5）概率与随机变量分布列、期望和方差相结合的综合题。（6）利用分类思想、化归转化思想解决排列组合和概率的问题。特别提醒：（1）互斥事件有一个发生的概率公式P(A+B)=P(A)+P(B)。其中“A+B”为事件A、B中有一个发生的事件；公式适合范围是事件A与B互斥；推广：若事件A1、A2、…、An两两互斥，则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。（2）相互独立事件同时发生的概率公式P

3、(A·B)=P(A)·P(B)。其中“A·B”为事件A、B同时发生的事件；公式适合范围是事件A与B独立；推广：若事件A1、A2、…An相互独立，则P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)。（3）独立重复试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为。注意：“恰有次发生”和“指定事件发生次”的差异，对独立重复试验来说，前者概率为，后者的概率为。热点题型选讲：例1、从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力。试求满足下列条件的参赛方案各有多少种？（1）、甲不能跑第一棒和第四棒；（2）、甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒。解析：（1）方法一：优

4、先考虑特殊位置，让其选元素，一、四棒共有5个元素可供选择，故有种排法；其余两棒有4个元素可供选择，故有种排法，所以有=240种参赛方案。方法二：优先考虑特殊元素甲，让其选位置，此时务必注意甲是否参赛，因此需分两类：第一类、甲不参赛有种排法；第二类、甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有种排法；其余5人占3个位置有种排法，故有种方案。所以有+=240种参赛方案。方法三：先着眼于整体，后局部剔除不合要求的参赛方案。首先6个人占4个位置有种占法；其次，甲跑第一棒和第四棒的不合要求的参赛方案有2种。所以有－2=240种参赛方案。（2）方法一：优先考虑特殊位置。第一类、乙跑第一棒有=60种排法；第

5、二类、乙不跑第一棒有=192种排法。故有60+192=252种参赛方案。方法二：优先考虑特殊元素。第一类、甲和乙都不参赛，有=24种排法；第二类、甲和乙中恰有一人参赛，有2=144（或2（－）=144）种排法；第三类、甲和乙都用类似方法一的方法，知有+=84（或（－2+）=84）种排法。综上所述有24+144+84=252种参赛方案。方法三、去杂法（淘汰法）。共有=360种参赛方案，其中不合要求的有：①甲跑第一棒，乙跑第四棒，有=12种排法；②甲跑第一棒，乙不跑第四棒，有=48种排法；③甲不跑第一棒，乙跑第四棒，有=48种排法；综上所述有360－12－48－48=252种参赛方案。归纳

6、总结：（1）排列组合问题常可以分类处理，实现各个击破；或分步解决，实施逐级推进；也可整体设计，避免分类分步。（2）第一问中的三种解法是处理有限制条件的排列应用题的常用思考方法，要准确选择简捷的方案解题需靠对题情的把握以及解题经验的积累方能做到。一般地，是优先位置还是元素，常根据特殊元素或特殊位置的个数来确定，少者优先；而去杂法是在正面考虑较复杂时采用的一种方法。（3）第二问中的去杂法极易产生如下错解，即将不符合要求的方案分为如下两类：第一类，甲跑第一棒有=60种排法；第二类，乙跑第四棒有=60种排法，从而共有360－60－60=240种。错误在于分类重复，两类均含有甲跑第一棒同时乙跑第

7、四棒的不合要求的12种情况，将此种情况补全后便可产较为简捷的“去杂法”。即共有－2+=250种参赛方案。例1、有4名男生5名女生全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？⑴、甲不在中间也不在两端；⑵、甲、乙两人必须排在两端；⑶、男女生分别排在一起；⑷、男女相间；⑸、甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定。解析：⑴、方法一：元素分析法选排甲有6种，其余有种，共有6=241920种排法。方法二：位置分析法中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种