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时间:2018-12-17
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1、如何避免“分类讨论”http://www.DearEDU.com浙江省绍兴县鉴湖中学周张海“分类讨论”是一种重要的数学思想,许多问题都离不开分类讨论。但有些问题若能认真审题,深刻反思,克服思维定势,变换思维角度,往往可以避免分类讨论,使问题的解决更为简捷。现采撷几例,供参考。一、运用最值思想,避免分类讨论例1:奇函数是R上的减函数,若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围。解:,且是R上的奇函数,减函数,得到(1),可得,问题转化为只要k小于的最小值即可。令,因为在(0,)上是减函数,故当时,
2、显然有,即∴k的取值范围为(-∞,2)点评:按照常规思路,由(1)式转化为在上恒成立问题,可令,然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化,进行分类讨论,得到:或或解得或或,从而求得k的取值范围为(-∞,2)。这样解就显得比较烦琐,因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题,一般通过分离变量,转化为函数的最值问题求解。就可以避免分类讨论,使得解题过程简明快捷,少走弯路。二、妙用换底公式,避免分类讨论例2:设,且,比较与的大小。分析:本例通常应分与两种情况讨论,但运用换底公式消去a,就可避免分类讨论,从而达
3、到简化解题过程的目的。解:运用作商比较法,,,三、变换主元地位,避免分类讨论例3:设不等式对于满足的一切m的值都成立,求m的取值范围。分析:本例为含参数的不等式,关键是对参数的处理,从表面上看,是一个关于x的一元二次不等式,实质上是一个关于m的一元一次不等式,并且已知它的解集为[-2,2],求参数的范围。因此通过参数m与未知数x的地位的变化,借助于一次函数图象,避免了繁杂的对参数的讨论。解:设,它是以m为自变量的一次函数,其图象为直线,由题意知,这条直线当时,线段在y轴的下方,满足它的为即四、借助
4、函数性质,避免分类讨论例4:设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减,若,求实数m的取值范围。分析:由函数的定义域知,但是与m到底是在[-2,0]、[0,2]的哪个区域内,不十分清楚,若就此讨论,将十分复杂,如果注意到性质“如果是偶函数,那么”,问题解答就简捷多了。解:是偶函数,,又当时,单调递减,,解得点评:本题应用了偶函数的一个简单性质,从而避免了一场“大规模”的讨论,将“曲径”变“通途”。值得深思。
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