简谐运动对称性及其应用 专题辅导 不分版本

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1、简谐运动对称性及其应用http://www.DearEDU.com忻传森对称性是简谐运动的重要特征之一，简谐运动的对称性主要体现在这样几个方面：相对平衡位置对称的两点，加速度、回复力、位移均为等值反向，速度可能相同也可能等值反向，动能、势能一定相等。振动物体通过平衡位置两侧的两段对称路径的时间相等，回复力做的功相等，回复力的冲量大小相等；物体通过平衡位置一侧的一段路径的往返时间也相等。这一对称性关系在应用中很有价值。1.距平衡位置距离相同的两点速度具有对称性例1如图1所示，一个质点做简谐运动，先后以相同的动量依次通过A和B两点，历时1s质点通过B点后再经过1s第2次通过B点，在

2、这2s内，质点通过的总路程为12cm，则质点振动的周期和振幅分别是多少？图1解析：由于质点先后以相同的动量依次通过A和B两点历时2s，则质点在A和B两点速度大小相同，方向也相同，A和B两点关于平衡位置对称，则由A→O和O→B所用时间都为0.5s。质点通过B点后再经过1s第二次通过B点，由B→b为0.5s。则，所以周期T=4s。在这2s内，质点通过和总路程为12cm，所以，。2.速度相同的两点相对于平衡位置的位移具有对称性例2劲度系数为k的轻质弹簧，下端挂一个质量为m的小球，小球静止时距地面的高度为h。用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）则（）

3、A.运动过程中距地面的最大高度为2hB.球上升过程中势能不断变小C.球距地面高度为h时，速度最大D.球在运动中的最大加速度是解析：因为球在竖直平面内做简谐运动，球从地面上由静止释放时，先做变加速运动，当离地面距离为h时合力为零，速度最大，然后向上做变减速运动，到达最高点时速度为零。在最低点速度为零时距平衡位置为h，利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性，到最高点速度为零时距平衡位置也为h，所以球在运动过程中距地面的最大高度为2h。由于球的振幅为h，由可得，球在运动过程中的最大加速度为：，球在上升过程中动能先增大后减小，由整个系统机械能守恒可知，系统的势能先减小后增大。所以正

4、确答案为：ACD。3.距平衡位置距离相同的两点加速度具有对称性例3如图2所示，质量为m的物体在竖直弹簧上做简谐运动，当振幅为A时，木块对弹簧压力的最大值为木块重力的1.5倍，则木块对弹簧压力的最小值为多少？欲使木块不脱离弹簧，其振幅不能超过多少？图2解析因为木块在竖直方向上做简谐运动，依题意木块在最低点时对弹簧的压力最大，在最高点对弹簧的压力最小，在最低点根据牛顿第二定律有：代入数据解得。由于最高点和最低点相对平衡位置对称，加速度大小等值反向，所以最高点的加速度大小也为，在最高点根据牛顿第二定律有：解得木块对弹簧压力的最小值为：要使木块不脱离弹簧，设其振幅不能超过，此时木块振到

5、最高点恰在弹簧原长处，此时的最大加速度为g，由知，当振幅为A时，在最低点有，当振幅为A’时，在最高点有。由此可得。4.简谐运动对称性的拓展应用例4原长为30cm的轻弹簧竖立于地面，下端固定在地面上（如图3a），质量为的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为26cm。如果物体从距离地面130cm处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距离地面22cm时，（不计空气阻力，取g=10m/s2，重物在地面时，重力势能为零）则（）A.物体的动能为1JB.物体的重力势能为1.08JC.弹簧的弹性势能为0.08JD.物体的动能和重力势能之和为2.16J解析由题分析可知，当弹簧距离地面26cm

6、时的位置O即是物体做简谐运动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体与地面相距30cm时C位置的动能和距离22cm时B位置的动能相等（如图3b）。因此只要求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。由机械能守恒定律可得：对于C到B的过程，根据机械能守恒定律有：所以正确答案为：A、C。