高二数学排列、排列数公式例题解析 人教版

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1、高二数学排列、排列数公式例题解析一.本周教学内容：排列、排列数公式二.重点、难点：重点：1.排列的概念、排列数公式2.排列的应用难点：有附加条件的排列数的计算，排列应用问题等是这部分内容的难点。【典型例题】例1.一排有8个座位3个人去坐，若每个人左右均有空位，有多少种坐法？分析：转化为3个人插5个空的模型：每个人都拿着一把椅子，先排其余的5个椅子（一种排法），它们之间产生4个空档，再把手拿椅子的3个人排到这4个空档中，共有A43＝24种。例2.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按从小到大的顺序排列，构成一个数列。（1）43

2、251是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96项是多少？（3）求这个数列的各项和。解：（1）本题实际上是求不大于43251的五位数有多少个的问题，逆向考虑，将大于它的数分成如下三种情况。答：43251是此数列的第88项。（2）用排除法逆向分析，此数列共有120项，第96项以后还有120－96＝24项，即比第96项所表示的五位数大的五位数有24个，而以5打头的五位数恰好有A44＝24（个），所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项，即为45321.答：这个数列的第96项是45321.（2）实际上是求所组成的五位数的和，因为1、2、3、

3、4、5各在万位上时都有个五位数，所以在万位上的和为。同理，它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数，所以其和为。综上可知，这个数列的和为：答：这个数列的各项和为3999960。说明：本题中的逆向思维的分析方法是解决问题的重要方法，当从正面解决问题比较困难时，可以考虑从它的反面入手，问题往往就可以迎刃而解。例3.一场晚会有5个唱歌和3个舞蹈共8个节目，问按下列要求各可排出多少种不同的节目单？（1）前4个节目中即要有唱歌又要有舞蹈；（4）3个舞蹈节目的先后顺序一定。解：（1）不受任何限制的排法有种，前4个节目全部排唱歌有种。故要求前4个节目既有唱歌又

4、有舞蹈的节目单有（种）（2）先在8个节目中排好5个唱歌节目，再将3个舞蹈节目按特定顺序（一种）插入空档，故3个舞蹈的先后顺序一定的节目单有题（2）还可用“机会均等法“：8个节目的全排列有种，而其中的3个舞蹈的种排列我们只能取其一种，故3个舞蹈的先后顺序一定的节目单有（种）例4.某小组6个人排队照相留念。（1）若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？（2）若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？（3）若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照相，其中甲必在乙的

5、右边，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？（6）若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：（1）分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题。（2）先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种。因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法。（3）采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法。然后甲、乙两人之间再排队，有

6、P22种排法。因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法。（4）甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法。（5）采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了。这样男生有P43种排法，女生有P33种排法。因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法。（6）符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙

7、以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法。解：（1）P66＝720（种）（2）P21·P41·P44＝2×4×24＝192（种）（3）P55·P22＝120×2＝240（种）（4）P66＝360（种）（5）P43·P33＝24×6＝144（种）（6）P55＋P41P41P44＝120＋4×4×24＝504（种）或法二：（淘汰法）P66－2P55＋P44＝720－240＋24＝504（种）说明：（1）“相邻”问题，n个

8、元素排成一排，其中有m个元素相连的排法有。（2）“相间”问题中，若两类元素个数相同（都是n个），则排列总数为