高二数学直线的倾斜角和斜率 直线方程的几种形式知识精讲 人教版

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1、高二数学直线的倾斜角和斜率直线方程的几种形式知识精讲人教版一.本周教学内容：《解析几何》第一章“直线”的§1.4直线的倾斜角和斜率，§1.5直线方程的几种形式。二.重点、难点：通过复习一次函数及其图象（直线），我们可以在直线与二元一次方程之间建立一种对应的关系，这种关系表述如下：以方程F(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都是某条直线上的点，反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解。那么，方程F(x,y)=0叫做这条直线的方程，而这条直线叫做这个方程的直线。利用这种对应关系，我们可以建立直线的方程，并通过方程研究有关直线的问题。本周我们学习的重点是如何建立直

2、线方程。建立直线方程，需要学习直线的倾斜角和斜率的概念。然后在这概念的基础上，逐渐导出直线的几种特殊形式的方程，最终统一为直线方程的一般式。知识要点如下：1.直线的倾斜角：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直若直线l//x轴，则规定它的倾斜角为00。显然，任一条直线l都有唯一的倾斜角，它表征了直线l相对于x轴的倾斜程度。2.直线的斜率：注意：（2）斜率是今后研究两条直线位置关系的重要概念，请同学们切实理解它。3.直线的斜率公式：依此公式，若已知直线l上两点的坐标，即可求出l的斜率k，进而再依据因此已知直线的斜率，就等价于已知直线的倾斜角

3、，也即已知其倾斜程度。4.直线方程的特殊形式：（1）点斜式：（2）斜截式：（3）两点式：（4）截距式：以上每种形式的直线方程都有其局限性。例如，点斜式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线；而截距式不能表示与x轴、y轴垂直的直线，也不能表示过原点的直线。特殊地，5.直线方程的一般式：该形式的方程能表示任意一条直线。根据需要，经常把一般式方程化为斜截式方程或截距式方程，这两种形式的方程对于我们确定直线更为简便。三.学习建议：由于本周所学内容在第一章乃至本书中的地位之重要，因此希望同学们要切实理解诸如直线的倾斜角、斜率等重要概念，能熟练运用

4、斜率的计算公式；另一方面，要熟悉直线方程的几种特殊形式及其适用范围，能根据已知条件合理选择某种形式，来求出直线方程；最后，要能在直线方程的特殊形式与一般式之间顺利互化。【典型例题】例1.求经过A(-2,3)，B(4,-1)的两点式方程，并把它化为点斜式、斜截式、截距式。解：由两点式，得直线AB的方程为例2.已知直线l经过点(2,1)，且它的倾斜角等于已知直线l’：倍，求l的方程。分析：由于已知l经过一点P(2,1)，根据直线的点斜式方程，只要求出l的斜率即可。解法一：解法二：注：细心的同学可能发现，怎么两种解法的结果不同呢？孰对孰错？显然，解法一忽视了l’的倾

5、斜角的实际范围，从而影响了对l的倾斜角的取值范围，出现了增解。故需舍去。例3.分析与解：由于直线方程已知，故从方程中可求出其斜率，而斜率与倾斜角通过故选B例4.若三点A(3,-1)，B(a,2)，C(2,2a)在一条直线上，则a=____________。分析与解：由三点A、B、C共线可知直线AB的斜率与直线AC的斜率相等，即kAB=kAC，由斜率计算公式可得解得a=0或。例5.直线ax+by-ab=0(ab<0)的倾斜角为（）分析与解：故选A注：若把题目中的条件“ab<0”改为“ab>0”，则直线的倾斜角应如何表示？请思考并自行解之。例6.若ab>0，bc>

6、0，则直线ax-by-c=0经过（）A.第一、二、四象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、三象限分析与解：由已知ab>0，得k>0；由bc>0，得纵截距<0。这说明直线倾斜角为锐角，且与y轴的交点在y轴负半轴上，即直线经过第一、四、三象限，故选B。例7.已知直线l在y轴上的截距为-3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程。分析：欲求l的方程，只需根据已知条件选择直线方程的某种形式，设出该方程，进而利用其他已知条件求出方程中的待定常数（待定系数法），此题已知直线l的纵截距，故既可选择直线的斜截式，又可选择直线的截距式，因此解法

7、有二。解法一：设l的方程为y=kx-3解法二：例8.过点P(4,-3)的直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程。分析：直线l满足的两个条件为（1）过点P(4,-3)；（2）横、纵截距的绝对值相等。若由条件（1）可设出l的点斜式方程，再利用（2）待定斜率k；若由条件（2），可设出l的截距式方程，再利用（1）待定截距a,b，因此有两种解法。解法一：设直线l的方程为y+3=k(x-4)解法二：设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b注：本例的解法二采取了设直线的截距式方程，需要注意的是对截距应分两种情况讨论：(1)截距均不为0；(2)截距为0。否则若误

8、认为截距不为0，则可能丢解。例9.在直