高三数学大一轮复习 专题四 数列的综合应用教案 理 新人教a版

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1、专题四 数列的综合应用1.等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的差;(2)a1和d可以为零;(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前一项的关系;等比数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的比;(2)a1与q均不为零;(3)等比中项有两个值(2)结果都必须是同一个常数;(3)数列都可由a1,d或a1,q确定2.数列常与不等式结合,如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等,需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题.数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率

2、、银行信贷、分期付款、合理定价等.3.解答数列应用题的基本步骤(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.4.数列应用题常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型

3、:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时,应考虑是an与an+1的递推关系,还是Sn与Sn+1之间的递推关系.1.在等比数列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5的值为________.答案 5解析 设首项为a1,公比为q,则a1>0,q>0,a2a4+2a3a5+a4a6=aq4+2aq6+aq8=aq4(1+q2)2=25.∴a1q2(1+q2)=5,∴a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(1+q2)=5.2.已知等差数列的公差d<0,前n项和记为Sn

4、,满足S20>0,S21<0,则当n=________时,Sn达到最大值.答案 10解析 ∵S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)>0,S21=21a11<0,∴a10>0,a11<0,∴n=10时,Sn最大.3.设等差数列{an}的各项均为整数,其公差d≠0,a5=6,若a3,a5,am(m>5)是公比为q(q>0)的等比数列,则m的值为________.答案 11解析 由题意,得a3=6-2d,因为q==,所以3-d=;因为q大于零,所以3-d是大于零的整数,q=.由题意知,数列{an}各项均为整

5、数,故d,q均应为整数.当3-d>3,3-d∈Z时,q不为整数,故3-d只能取1,3.当3-d=3时,d=0,不满足条件;故3-d=1,此时d=2,q=3,满足条件.所以q=3,d=2,因此6×3=am=6+(m-5)×2,所以m=11.4.设数列{an}是公差大于0的等差数列,a3,a5分别是方程x2-14x+45=0的两个实根.则数列{an}的通项公式是an=____________;若bn=,则数列{bn}的前n项和Tn=____________.答案 2n-1 2-解析 因为方程x2-14x+45=0的两个

6、根分别为5、9,所以由题意可知a3=5,a5=9,所以d=2,所以an=a3+(n-3)d=2n-1.∵bn==n·,∴Tn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n·①∴Tn=1×+2×+…+(n-1)×+n·②①-②得,Tn=+++…++-n·=1-,所以Tn=2-.5.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f′(0)等于(  )A.26B.29C.212D.215答案 C解析 f′(x)=x′·[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]+[(x-a1)

7、(x-a2)·…·(x-a8)]′·x=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′·x,所以f′(0)=(0-a1)(0-a2)…(0-a8)+0=a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f′(0)=84=212.题型一 等差数列与等比数列的综合应用例1 在等差数列{an}中,a10=30,a20=50.(1)求数列{an}的通项an;(2)令bn=2an-10,证明:数列{bn}为等比数列.审题视角 第(1)问列首项

8、a1与公差d的方程组求an;第(2)问利用定义证明.(1)解 由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得∴an=12+(n-1)·2=2n+10.(2)证明 由(1),得bn=2an-10=22n+10-10=22n=4n,∴==4,∴{bn}是首项是4,公比q=4的等比数列.探究提高 对等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等

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