高三数学二轮复习 专题五 第3讲 直线与圆锥曲线教案

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1、第3讲　直线与圆锥曲线自主学习导引真题感悟1．(2012·陕西)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A、B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．解析　(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞2)，其离心率为，故＝，解得a＝4.故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)解法一　A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入

2、＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝.又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.解法二　A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.由＝2，得x＝，y＝.将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x

3、.2．(2012·福建)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．解析　(1)依题意，

4、OB

5、＝8，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝

6、OB

7、sin30°＝4，y＝

8、OB

9、cos30°＝12.因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明　证法一　由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x

10、0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q为.设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于＝(x0，y0－y1)，＝，由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，所以解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．证法二　由(1)知y＝x2，y′＝x.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为y－y0＝x0(x－

11、x0)，即y＝x0x－x.由得所以Q为.取x0＝2，此时P(2,1)，Q(0，－1)，以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交y轴于点M1(0,1)、M2(0，－1)；取x0＝1，此时P，Q，以PQ为直径的圆为2＋2＝，交y轴于点M3(0,1)、M4.故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)．以下证明点M(0,1)就是所要求的点．因为＝(x0，y0－1)，＝，所以·＝－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．考题分析直线与圆锥曲线的综合应用往往是高考的压轴试题，具体表现为弦

12、长与面积问题，最值与范围问题、定点与定值问题、存在性问题等，运算量一般较大，有一定的难度，多以解答题的形式出现．网络构建高频考点突破考点一：圆锥曲线中的弦长问题【例1】(2012·荆州模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)右顶点与右焦点的距离为－1，短轴长为2.(1)求椭圆的方程；(2)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．[审题导引]　(1)利用相关的几何性质求得a、b、c，可求椭圆方程；(2)设出直线的方程，利用弦长公式得到三角形OAB面积的表达式并解出直线的斜率，可得直线方程．[

13、规范解答]　(1)由题意，解得a＝，c＝1.即椭圆方程为＋＝1.(2)当直线AB与x轴垂直时，

14、AB

15、＝，此时S△AOB＝不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y＝k(x＋1)，代入消去y得：(2＋3k2)x2＋6k2x＋(3k2－6)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，所以

16、AB

17、＝.原点到直线的AB距离d＝，所以三角形的面积S＝

18、AB

19、d＝·.由S＝⇒k2＝2⇒k＝±，所以直线lAB：x－y＋＝0或lAB：x＋y＋＝0.【规律总结】弦长问题的解决方法(1)弦长问题涉及直线与二次曲线的

20、两个交点坐标，此时一般不是求出两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这是解决弦长问题以及其他直线与二次曲线问题的最基本方法．(2)注意使用弦长公式

21、AB

22、＝

23、x1－x2

24、＝

25、y1－y2

26、(k≠0)．【