高中数学 3.2《均值不等式》学案 新人教b版必修5

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1、3．2均值不等式学案【预习达标】⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．⒉均值不等式是。其中前者是，后者是．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a2+b2()（2）（）（3）＋（）（4）x＋(x>0)（5）x＋(x<0)（6）ab≤（）⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为值，并且还需要注意等号是否成立．6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；．⑵函

2、数f(x)=2x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是；此时x的值为___________________。　　【典例解析】例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证++≥9．例⒉（1）已知x<，求函数y=4x－2+的最大值．（2）已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值。（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。【达标练习】一．选择题：　⒈下列命

3、题正确的是（　　　　）Ａ．a2+1>2aＢ．│x+│≥2Ｃ．≤2Ｄ．sinx+最小值为4．　⒉以下各命题(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+）(b+)的最小值是4，其中正确的个数是（　　　　）　　Ａ．0　　　　　　　　　Ｂ．1　　　　　　　　Ｃ．2　　　　　　　Ｄ．3　⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（　　　　　）Ａ．＋≥2　　　　　　　Ｂ．a2+b2≥2ab　　　　　　Ｃ．＋≥a＋b　　　　　Ｄ．2+　⒋设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于（　　　　　）Ａ．1　　　　　Ｂ．2Ｃ．3　　　　　　Ｄ．

4、4　⒌已知ab>0，下列不等式错误的是（　　　　　）　Ａ．a2+b2≥2ab　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．二．填空题：　⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．　⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．　⒏已知a、b为常数且0

5、间的线段最短，求此线段长。参考答案：【预习达标】1．；2．≥；算术平均数；几何平均数；圆中的相交弦定理的推论（略）。3．a，b∈R＋；a=b4．⑴≥2ab（a,b∈R）⑵≥(a，b∈R＋)⑶≥2（a、b同号）或≤－2（a、b异号）⑷≥2⑸≤－2⑹≤（）2（a,b∈R）；5．定。6．⑴1，1；⑵2，1；⑶，；⑷－1，－1。【典例解析】例1．解析：原式＝（++）（a+b+c）＝3＋（）＋（）＋（）≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=时取等号。例⒉解析：（1）∵x<∴4x-5<0∴y=4x－2+=(4x-5)++3≤－2＋3＝1当且仅当4x-5＝时即4x-5＝

6、－1，x＝1时等号成立，∴当x＝1时，取最大值是1（2）解法一、原式＝（x＋y）（）＝+10≥6＋10＝16当且仅当＝时等号成立，又＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。解法二、由＝1得（x-1）(y-9)=9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）解法二、∵≥（∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥2[]2＝，当且仅当x-a=b-x即x=时，等号成立。∴当x=时取得最小值。【双基达标】一、1．B解析：A中当a=1时不成立；

7、C需要分a、b同号还是异号D中等号成立的条件是sinx=2。这是不可能的。实际上│x+│＝│x│＋││≥22．C解析：（1）（2）正确，（3）不正确，实际上（a+）(b+)＝（a+b）+2+()≥1＋2＋2＝5，当且仅当a=b=时等号成立。3．D解析：A、B显然正确；C中+a≥2b，+b≥2a，∴＋≥a＋b；D中a=b=2时就不成立。4．B解析：原式＝（）＝（2＋）≥25．C解析：C、D必然有一个是错误的，实际上几何平均数≥调和平均数＝二、6．4解析：∵ab≤＝47．7解析：y＝2x+＝y＝（2x－3）+＋3≥78．解析：原式＝（）[x+(1-x)]=a2+

8、b2++≥a2+b2+2ab=。三、9．解析：（1）