高中数学 3.2立体几何中的向量方法的学案 新人教a版选修2

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1、3.2立体几何中的向量方法（1）【学习目标】1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2.掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决线线、线面平行与垂直等立体几何问题．【探究新知】一、课前准备（预习教材P102~P104，找出疑惑之处）复习1：一条直线与一个平面内的__________直线平行，则该直线与此平面平行。一条直线与一个平面内的__________直线垂直，则该直线与此平面垂直。一个平面过另一个平面的_______，则两个平面垂直。复习2：设a＝，b＝，a·b＝二、新课导学※学习探究探究任务一：

2、向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知：⑴点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量.⑵直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.⑶平面：空间中平面的位置可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.⑷平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，那么向量叫做平面的法向量.试一试：1.如果都是平面的法向量，则的关系.2.向量是平面的法向

3、量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是.思考：1.一个平面的法向量是唯一的吗？　　2.平面的法向量可以是零向量吗？⑸向量表示平行、垂直关系：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则　①∥∥　　　　②∥PAECDBF③∥∥※典型例题例1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD；求平面的法向量步骤：⑴设平面的法向量为；⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量

4、的坐标；⑶根据法向量的定义建立关于的方程组；⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.　平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.※动手试试练1.设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系：⑴；　　　⑵.练2.设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：⑴；　　⑵.练3：在空间直角坐标系中,已知,试求平面ABC的一个法向量.※学习小结1.空间点，直线和平面的向量表示方法2.平面的法向量求法和线线、线面垂直的证明【当堂检测】1.设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是.2.设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是

5、.3.已知，下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.下列说法正确的是（）A.平面的法向量是唯一确定的　　　　B.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量C.一条直线的方向向量是唯一确定的　D.若是直线的方向向量，，则5.已知，能做平面的法向量的是（）A.B.C.D.6．如图，在直三棱柱中，,点M是的中点，求证：.【课外延伸拓展】如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且。求证：对任意的，都有§3.2立体几何中的向量方法（2）【学习目标

6、】掌握向量运算在几何中求线线角、线面角的计算方法【探究新知】一、课前准备复习1：已知，，且，求.复习2：已知，求平面的一个法向量二、新课导学※学习探究探究任务一：用向量求空间两异面直线所成的角什么叫两异面直线所成的角？范围是＿＿＿；两向量的夹角呢？它们之间有什么关系？αβθOPA新知：用空间向量表示空间直线（线段），然后利用公式＿＿＿＿＿＿＿求出两异面直线所成的角.探究任务二：用向量求直线与平面所成的角问题：如何用向量方法求空间直线与平面所成的角？什么叫做直线与平面所成的角？如右图：PA与平面α所成的角是

7、＿＿，θ与β＿＿（互补或互余）cosβ＝＿＿＿＿＿，故=________________【应用举例】例1如图，如图，M、N分别是棱长为2的正方体的棱、的中点．(1)求异面直线MN与所成的角.(2)若AC、BD相交于点为O，求AD′与平面MOD′所成的角的正弦值。※学习小结1.空间直线与平面所成的角用公式___________求解；2.空间异面直线的夹角，可以转化为利用公式_____________求解.解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直

8、线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.※当堂检测（AB班完成）1.已知，则=.2.已知，则的夹角为，异面直线所成的角为____。3.若M、N分别是棱长为1的正方体的棱的中点,那么直线所成的角的余弦为（）A.B.C.D.4.正方体中棱长为，,是的中点，则为（）A.B.C.D.【课外延伸拓展