高中数学 一元二次不等式解法教案 苏教版必修5

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1、第二课时一元二次不等式解法(一)教学目标：通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想，提高运算(变形)能力，渗透由具体到抽象思想.教学重点：一元二次不等式解法教学难点：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系.数形结合思想渗透.教学过程：Ⅰ.复习回顾1.｜x｜＞a及｜x｜＜a(a＞0)型不等式解法.2.｜ax＋b｜＜c及｜ax＋b｜＞c（c＞0）解的结果.3.绝对值符号去掉的依据是什么?Ⅱ.讲授新课1.“三个一次”关系在初中我们学习了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数.它们之间具有什么关系呢?我们共同来看下面问题：y＝2x－7其部分对应值表22.533.544.55

2、－3－2－10123图象：填表：当x＝3.5时，y＝0，即2x－7＝0当x＜3.5时，y＜0，得2x－7＜0当x＞3.5时，y＞0，得2x－7＞0注：(1)引导学生由图象得结论.(数形结合)，(2)由学生填空.从上例的特殊情形，可得到什么样的一般结论？教师引导下让学生发现其结论.一般地，设直线y＝ax＋b与x轴的交点是(x0，0)就有如下结果.一元一次方程ax＋b＝0的解集是{x｜x＝x0}一元一次不等式ax＋b＞0（＜0)解集(1)当a＞0时，一元一次不等式ax＋b＞0的解集是{x｜x＞x0}，一元一次不等式ax＋b＜0的解集是{x｜x＜x0}.(2)当a＜0时，一元一次不等式ax＋b＞0的

3、解集是{x｜x＜x0}；一元一次不等式ax＋b＜0的解集是{x｜x＞x0}.2.“三个二次”的关系一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间关系.从下面特例寻求“三个二次”关系.举例：y＝x2－x－6，对应值表x－3－2－101234y60－4－6－6－406图象：方程x2－x－6＝0的解x＝－2或x＝3不等式x2－x－6＞0的解集{x｜x＜－2或x＞3}不等式x2－x－6＜0的解集{x｜－2＜x＜3}结合函数的对应值表，可以确定函数的图象，与x轴交点的坐标，进而确定对应的一元二次方程x2－x－6＝0的根.要确定一元二次不等式x2－x－6＞0与x2－x－6＜0的解集，那么就要在一元二次方程根的

4、基础上结合图象完成.我们仿“三个一次”关系，y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴相关位置，情形如下：y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴相关位置，分三种情况：以上三种情况，从图象我们可以发现其与Δ有关.由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac的三种情况(Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0）来确定.师引导学生发现：要分三种情况讨论，以寻求对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的解集.请同学们思考，若a＜0，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0及ax2＋bx＋c＜0其解集如何，课后仿上表给出结果.3.例题解析［例1］解不等式2x2－3x－2＞0解析：由“三个二次”关系

5、，相应得到所求解集.解：由2x2－3x－2＝0知Δ＝9＋16＞0，a＝2＞02x2－3x－2＝0的解集为{x｜x1＝－或x2＝2}∴2x2－3x－2＞0的解集为{x｜x＜－或x＞2}由例1解题过程可知，问题要顺利求解，应先考虑对应方程的判别式及二次项系数是否大于零，然后按照不等式解集情况求得原不等式的解集.［例2］解不等式－3x2＋6x＞2.解析：通过观察－3x2＋6x＞2与表格中不等式形式比较可发现，它们不同地方在于二次项系数.故首先将其变形为二次项系数大于零情形，转化为熟知类型，然后求解.解：原不等式－3x2＋6x＞2变形为3x2－6x＋2＜03x2－6x＋2＝0对应的Δ＝36－24＞0，

6、3＞0方程3x2－6x＋2＝0解得：x1＝1－，x2＝1＋所以原不等式的解集是{x｜1－＜x＜1＋}［例3］解不等式4x2－4x＋1＞0解析：因4＞0解法同例1解：因4x2－4x＋1＝0对应的Δ＝16－16＝0则方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝所以，原不等式的解集是{x｜x≠}［例4］解不等式－x2＋2x－3＞0.解：将原不等式变形为：x2－2x＋3＜0因x2－2x＋3＝0对应Δ＝4－12＜0故x2－2x＋3＝0无实数解，即其解集为那么原不等式解集是上述几例每一例都有各自特点，反映在两个方面：一是二次项系数，二是判别式Δ对于二次项系数不大于零的要化成大于零的式子，然后求解.[例5]若

7、不等式＜0对一切x恒成立，求实数m的范围.解析：合理等价变形，正确分类是解决问题关键.解：由题x2－8x＋20＝（x－4）2＋4＞0则原不等式等价于mx2－mx－1＜0成立那么，①当m＝0时，－1＜0不等式成立；②当m≠0时，要使不等式成立，应有，解之得：－4＜m＜0由①②可知，－4＜m≤0[例6]设不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜α＜x＜β}(0＜α＜β}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的