高中数学 几何概型 教案整理 新人教a版必修3

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1、几何概型使用说明:此教案旨在帮助教师理解几何概型的基础上设置的,从概念的分析,到例题的设置需要教师花心思针对学生情况重新组织,很多例题需要配套使用,效果更好。一.正确区分古典概型与几何概型题组一:1.在区间[0,10]上任意取一个整数,则不大于3的概率为:。2.在区间[0,10]上任意取一个实数,则不大于3的概率为:。分析:此题组中,问题1因为总的基本事件是[0,10]内的全部整数,所以基本事件总数为有限个11,而不大于3的基本事件有4个,此问题属于古典概型,所以所求概率为。问题2中,因为总的基本事件是[0,10]内的全部实数,所以基本事件总数为无限个

2、,此问题属于几何概型,事件对应的测度为区间的长度,总的基本事件对应区间[0,10]长度为10,而事件“不大于3”对应区间[0,3]长度为3,所以所求概率为。此题组中的两个问题,每个基本事件都是等可能发生的,但是问题1中的总基本事件是有限个,属于古典概型;而问题2中的总基本事件是无限个,属于几何概型;可见古典概型与几何概型有联系也有区别,但在实际解决问题中,关键还在于正确区分古典概型与几何概型。二.准确分清几何概型中的测度题组二:1.等腰Rt△ABC中,∠C=900,在直角边BC上任取一点M,求∠CAM<300的概率。2.等腰Rt△ABC中,∠C=900

3、,在∠CAB内作射线交线段BC于点M,求∠CAM<300的概率。ACBMACBM分析:此题组中的两个问题,很显然都是几何概型的问题,但是考察的测度不一样。问题1的测度定性为线段长度,当∠CAM0=300时,,合条件的点M等可能的分布在线段上,所以所求概率等于。而问题2的测度定性为角度,过点A作射线与线段CB相交,这样的射线有无数条,均匀分布在∠CAB内,∠CAB=450,所以所求概率等于。此题组中的两个问题都是几何概型的问题,但是选取的测度不一样,在解决时考察和计算的结果也不一致。可见在解决几何概型问题时,要认真审题,分清问题考察的测度,从而正确解决问

4、题。知识巩固:下列概率问题中哪些属于几何概型?(1)从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品,求正品的概率。(2)随机地向四方格里投掷硬币50次,统计硬币正面朝上的概率。(3)箭靶的直径为1m,其中,靶心的直径只有12cm,任意向靶射箭,射中靶心的概率为多少?(4)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时才可离去,求两人能会面的概率。对比古典概型和几何概型的特点,判断(1)、(3)属于古典概型;(2)、(4)属于几何概型。例题1:⑴某人午睡醒后,发现表停了,于是打开收音机等候整点报时,那么等待时间不多于10分钟的

5、概率是多大?1)这是什么概型,为什么?(几何概型)2)借助什么样的几何图形来表示随机事件与所有基本事件?(圆或线段)3)该如何建立数学模型?解:设A=“等待时间不超过10分钟”,则或⑵某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率。分析:某人醒来在整点间即60分钟是随机的,等待的时间不多于10分钟可以看作构成事件的区域,整点即60分钟可以看作所有结果构成的区域,因此本题的变量可以看作是时间的长度,于是可以通过长度比公式计算其概率。可设“等待的时间不多于10分钟”这一事件记作事件A,则;显然这是一个与长度有关

6、的几何概型问题,问题比较简单,学生也易于理解。问题拓展:某人午觉醒来,发现表停了,则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少?分析:本题的特点在于学生易犯固定思维的错误,习惯性的用上题中的时间长度之比来解决,得到错误的答案。学生错误的原因在于没有科学的认识题中的变量。本题中包含了两个变量,一个是手表停的分钟数,可以在[0,60]内的任意时刻,另一个变量是实际分钟数,也可以在[0,60]内的任意时刻。所以本题的解决应以轴和轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数,那么差异不超过5分钟的充要条件是,从而可以绘制坐标轴,数形结合,得到结果。xyO55

7、6060由于的所有可能结果是边长为60的正方形,差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示,记“差异不超过5分钟”为事件因此,差异不超过5分钟的概率。例题2:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环。从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm。运动员在70m外射箭。假设射箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?1、抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”(设“金币”的半径为1)抛向离身边若干距离的阶砖平面上,抛出的“金币”

8、若恰好落在任何一个阶砖(边长为2.1的正方形)的范围内(不与阶砖相连的线重叠),便可获大奖.不

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